Δυναμική ανάλυση κατασκευών και επίλυση προβλημάτων μεγάλης κλίμακας με την χρήση εξελιγμένων υπολογιστικών τεχνικών μείωσης της πολυπλοκότητας των μοντέλων

Abstract

Η επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών και ο προσδιορισμός της δυναμικής απόκρισης ενός συστήματος συνιστούν δύο από τα πιο θεμελιώδη προβλήματα της Επιστήμη της Δυναμικής των Κατασκευών. Σε κατασκευές με τεράστιο πλήθος βαθμών ελευθερίας η επίλυση αυτών των προβλημάτων καθίσταται δυσχερέστατη έως ανέφικτη, σε όρους υπολογιστικού χρόνου και απαιτούμενης επεξεργαστικής ισχύος. Επιπροσθέτως, σε μελέτες προσδιορισμού των ιδιομορφικών χαρακτηριστικών πραγματικών κατασκευών (modal surveys), τα αποτελέσματα που προκύπτουν για την κατασκευή από το Test Analysis Model (T.A.M.), πρέπει να συγκριθούν με εκείνα του προσομοιώματος πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Model-F.E.M.), προκειμένου να ελεγχθεί η αξιοπιστία του τελευταίου για την χρησιμοποίηση τους σε δυναμικές αναλύσεις. Κάτι τέτοιο απαιτεί την αναγωγή της δυναμικής απόκρισης του F.E.M. στις θέσεις τοποθέτησης των επιταχυνσιομέτρων στο T.A.M.. Αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι εξελιγμένες υπολογιστικές τεχνικές μείωσης της πολυπλοκότητας των προσομοιωμάτων πεπερασμένων στοιχείων, μέσω απαλοιφής των βαθμών ελευθερίας με τη μικρότερη συνεισφορά στη δυναμική απόκριση. Με την εφαρμογή των μεθόδων αυτών επιτυγχάνεται η κατασκευή ενός μειωμένης πολυπλοκότητας προσομοιώματος, με πλήθος βαθμών ελευθερίας μικρότερο από 10% του αρχικού, το οποίο προσεγγίζει με υψηλό δείκτη αξιοπιστίας τη δυναμική απόκριση και τις χαμηλότερες ιδιομορφές του αρχικού συστήματος, ενώ ταυτόχρονα επιλύει ταχύτατα τα παραπάνω προβλήματα. Αρχικά, στα Κεφάλαιο 2 παρατίθενται συνοπτικά οι θεμελιώδεις σχέσεις που διέπουν τα εξαεδρικά ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία 8 κόμβων, ενώ στο Κεφάλαιο 3 οι απαραίτητες έννοιες της δυναμικής των κατασκευών, που απαιτούνται για την κατανόηση των μεθόδων μείωσης της πολυπλοκότητας συστημάτων. Στο Κεφάλαιο 4 περιγράφεται η Μέθοδος Δυναμικής Ανάλυσης Συστημάτων με Υποφορείς, αφενός γιατί αποτελεί μια μέθοδο μείωσης του υπολογιστικού κόστους προσδιορισμού της δυναμικής απόκρισης και αφετέρου για λόγους σύγκρισης με τις μεθόδους μείωσης της πολυπλοκότητας. Στα Κεφάλαια 5,6 αναλύονται οι δύο βασικοί άξονες κατασκευής ενός Reduced System. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται οι μέθοδοι επιλογής των Πρωτευόντων Βαθμών Ελευθερίας (Primary Degrees Of Freedom-P.D.O.F.), ενώ στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζονται οι κυριότερες μέθοδοι δυναμικής συμπύκνωσης των Δευτερευόντων Βαθμών Ελευθερίας (Secondary Degrees Of Freedom-S.D.O.F.). Στο Κεφάλαιο 7 αναλύεται η τεχνική συνδυασμού των μεθόδων μείωσης της πολυπλοκότητας με την μέθοδο των Υποφορέων. Στο Κεφάλαιο 8 παρατίθενται τα αποτελέσματα της σύγκρισης των διαφόρων μεθόδων μεταξύ τους τα οποία προέκυψαν μετά από εκτέλεση αναλύσεων σε Ηλεκτρονικό Υπολογιστή μέσω προγράμματος, η συγγραφή του οποίου έγινε στη γλώσσα προγραμματισμού MATLAB. Τέλος, στο Κεφάλαιο 9 γίνεται μια συνοπτική παρουσίαση των συμπερασμάτων, ενώ στο Κεφάλαιο 10 παρατίθεται ο κώδικας σε γλώσσα προγραμματισμού MATLAB, με τον οποίο υλοποιήθηκαν προγραμματιστικά οι παραπάνω μέθοδοι.

The eigenproblem solution and the identification of the dynamic response of a system, are considered to be fundamental problems in Structural Dynamics. In large-scale structures, which are characterized by a great number of degrees of freedom, the solution of such problems is extremely difficult, or even impossible, in terms of computational cost and processing efficiency. Moreover, in Modal Surveys, the results of the Test Analysis Model (T.A.M.) must be compared with those of the Finite Element Model (F.E.M.), in order to assess the reliability of the latter for the performance of dynamic analyses. In order to able to compare the results directly, multiple F.E.M.’s degrees of freedom must be reduced, so that the remaining ones correspond one-for-one with the accelerometers in the modal survey test configuration The following undergraduate thesis deals with improved computational techniques for system reduction, which eliminate the degrees of freedom with the least participation in the dynamic response of the initial system. By applying these methods, we are able to construct reduced systems with a number of degrees of freedom which is less than 10 % of that of the initial system. Moreover, we have the ability to obtain the lower eigenvalues (through the reduced eigenproblem solution) and the time response of a certain point of the initial system under a certain dynamic load , within a very small computational time and with remarkable accuracy. In Chapter 2 we discuss the equations of the hexahedral isoparametric finite elements with 8 nodes, while in Chapter 3 we briefly discuss some fundamental concepts of Structural Dynamics, which are prerequisites in order for the reader to understand the function of the system reduction methods discussed in the next chapters In Chapter 4 we present the Dynamic Substructuring method, because, on the one hand it is a method of computational cost reduction, while on the other hand, it provides important results for the comparison with those of the system reduction methods. In Chapters 5 and 6 we discuss the basic lines upon which a reduced system is constructed. More specifically, in Chapter 5 we present the Primary Degrees of Freedom (P.D.O.F.) Selection Schemes, while in Chapter 6 we deal with the Secondary Degrees of Freedom (S.D.O.F.) Dynamic Condensation Schemes. Chapter 7 deals with the efficient construction of a reduced system, combined with substructuring scheme. In Chapter 8 we present the results of the application of system reduction methods, through analyses performed with MATLAB, and, moreover, we present the comparison between multiple schemes, in terms of efficiency and computational cost. In Chapter 9, we present the Conclusions of the thesis Finally, in Chapter 10 we present the self-written Program in MATLAB, for the implementation of the analyses, the results of which were presented in Chapter 8.