Convergence and Oscillations in the Method of Auxiliary Sources (MAS) Applied to 3-D Acoustic Scattering Problems

Abstract

Η Μέθοδος των Βοηθητικών Πηγών (MAS) είναι μια προσεγγιστική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων σκέδασης. Στην περίπτωση που μας ενδιαφέρει στην παρούσα διπλωματική εργασία, δηλαδή την σκέδαση από μια ακουστικώς μαλακή σφαίρα, η οποία διεγείρεται εξωτερικά, υποτίθενται MxΝ εικονικές πηγές ακουστικού πεδίου (οι οποίες αναφέρονται ως ‘ρεύματα MAS’) τοποθετημένες σε μία βοηθητική σφαιρική επιφάνεια εντός της σφαίρας-σκεδαστή, όπου τα Μ,Ν είναι πεπερασμένα. Τα ‘ρεύματα MAS’ είναι τέτοια ώστε να ικανοποιείται η συνοριακή συνθήκη του μηδενιζόμενου ακουστικού πεδίου στην επιφάνεια του μαλακού σκεδαστή σε ΜxΝ σημεία αναφοράς. Έτσι προκύπτει ένα [(P-1) Q]x[(M-1) N] σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Εφ’ όσον τα ‘ρεύματα MAS’ ευρεθούν και υπολογιστούν, το ακουστικό πεδίο (‘πεδίο MAS’) που οφείλεται σε αυτά μπορεί εύκολα να προσδιοριστεί. Αυτό που φαίνεται από την αριθμητική διερεύνηση αυτής της διπλωματικής εργασίας (με χρήση του πακέτου MATLAB) είναι ότι, για την περίπτωση των τρισδιάστατων προβλημάτων, για κάποια περιοχή τοποθέτησης των εν λόγω βοηθητικών πηγών (η οποία προσδιορίζεται στην εργασία αυτή από μία ‘κρίσιμη’ ακτίνα), τα βοηθητικά ρεύματα πιθανώς να ταλαντώνονται, αλλά λαμβάνεται συγκλίνον πεδίο παρά τις ταλαντώσεις αυτές των πηγών που το παράγουν. Επίσης αυτές οι ταλαντώσεις δεν οφείλονται σε σφάλματα στρογγυλοποίησης ούτε επίλυσης του γραμμικού συστήματος εξισώσεων. Παρουσιάζεται επιπροσθέτως ότι, καθώς τα πλήθη των πηγών Μ, Ν τείνουν στο άπειρο, τα ‘MAS ρεύματα’ αποκλίνουν, ενώ, παράλληλα, είναι δυνατό να συγκλίνει το ‘πεδίο MAS’ στο πραγματικό, σωστό πεδίο (για όλα τα σημεία εκτός της σφαίρας-σκεδαστή). Επομένως, η διπλωματική αυτή εργασία περιγράφει μια δυσχέρεια (δηλαδή τις παραπάνω ταλαντώσεις) σχετική με την εφαρμογή της ‘MAS’. Τα κύρια πλεονεκτήματα της απεικόνισης μιας τέτοιας δυσχέρειας μέσω ενός προβλήματος απλής γεωμετρίας, όπως αυτού της παρούσας διπλωματικής, είναι τα εξής: (1) αφού η δυσχέρεια απαντάται σε ένα απλό πρόβλημα, είναι επίσης πιθανό να συμβεί και σε πιο πολύπλοκα προβλήματα και (2) είναι λιγότερο πιθανό να προκληθεί σύγχυση της παρούσας δυσχέρειας με άλλες (δηλαδή επιδράσεις οφειλόμενες σε σφάλματα στρογγυλοποίησης, σφάλματα επίλυσης του συστήματος ή λόγω επιμηκυμένων γεωμετριών).

The Method of Auxiliary Sources (MAS) is an approximate method for the solution of scattering problems. In the case of interest in the present thesis, that of scattering by an acoustically soft sphere, excited externally, one assumes MxN fictitious sources of acoustic field (to be referred to here as ‘MAS currents’) located on an auxiliary spherical surface inside the sphere-scatterer, for finite M,N. The ‘MAS currents’ are such that the boundary condition of the vanishing acoustic field is satisfied on MxΝ collocation points on the soft scatterer. A [(P-1) Q]x[(M-1) N] system of linear algebraic equations thus results. Once the MAS currents are found and calculated, the acoustic field (‘MAS field’) due to them can be easily determined. What is shown in the numerical investigations of this thesis (by means of MATLAB) is that, in the case of 3-D problems, for the placement of the mentioned auxiliary sources in a certain area (which is found in this thesis and determined by a ‘critical’ radius), the auxiliary currents may oscillate, but we obtain a convergent field despite these oscillations; furthermore the oscillations are neither due to round-off nor matrix ill-conditioning. It is also demonstrated that, as M and N go to infinity, it is possible to have a ‘MAS field’ convergent to the true, correct field (for all points outside the sphere) together with divergent ‘MAS currents’. The thesis describes therefore a difficulty (namely oscillations) associated with the implementing of ‘MAS’. The main advantages of illustrating a difficulty via a simple problem are two: (1) if the difficulty occurs in a simple problem, it is also likely to occur in more complicated problems and (2) it is less likely to confuse the said difficulty with other difficulties (namely, effects due to round-off, matrix ill-conditioning or shape elongation).