Θερμοβαρυτικές αστάθειες σφαιρικών ρευστών υπό την παρουσία κοσμολογικής σταθεράς

Abstract

Θα μελετήσουμε τη θερμοδυναμική βαρυτικού αερίου στη Γενική Σχετικότητα και στο Νευ- τώνειο όριο. Κυρίως ενδιαφερόμαστε για την επίδραση της Κοσμολογικής Σταθεράς, ο- ποιασδήποτε θετικής ή αρνητικής τιμής, στη θερμοδυναμική ευστάθεια στατικών σφαιρικών ρευστών. Στη θερμοδυναμική βαρυτικών συστημάτων, οι διάφορες στατιστικές συλλογές δεν είναι ισοδύναμες. Πραγματοποιούμε την ανάλυση στην μικροκανονική αλλά και στην κανονική συλλογή. Στη Νευτώνεια Βαρύτητα γνωρίζουμε πως εμφανίζονται δύο θερμοδυ- ναμικές αστάθειες, η «Θερμοβαρυτική Καταστροφή» (‘Gravothermal Catastrophe’) στη θεώρηση της μικροκανονικής συλλογής και η «ισοθερμική κατάρρευση» (‘isothermal collapse’) στη θεώρηση της κανονικής συλλογής. Περιγράφουμε πώς διαμορφώνονται και τα δύο φαινομένα υπό την παρουσία της Κοσμολογικής Σταθεράς. Στην περίπτωση θετικής Κοσμολογικής Σταθεράς παρατηρούμε «μεταβάσεις φάσης επανεισόδου» (‘reentrant phase transitions’). Στη μικροκανονική συλλογή, εκτός από την άνω κρίσιμη ακτίνα, ως την τι- μή της οποίας υπάρχουν καταστάσεις ισορροπίας, εμφανίζεται και μια δεύτερη μεγαλύτερη κρίσιμη ακτίνα, η οποία σχετίζεται με την Κοσμολογική σταθερά, πάνω από την οποία απο- καθίστανται οι καταστάσεις ισορροπίας. Στην κανονική συλλογή, εκτός από την ελάχιστη κρίσιμη θερμοκρασία, μέχρι την οποία υπάρχουν καταστάσεις ισορροπίας, εμφανίζεται και μία δεύτερη ακόμα χαμηλότερη θερμοκρασία, η οποία σχετίζεται με την κοσμολογική στα- θερά, κάτω από την οποία αποκαθίστανται ξανά οι καταστάσεις ισορροπίας. Και στις δύο περιπτώσεις, μια αρνητική Κοσμολογική Σταθερά (ασυμπτωτικά anti-de Sitter χώρος) δρα θερμοδυναμικά, αποσταθεροποιητικά, ενώ μία θετική Κοσμολογική Σταθερά (ασυμπτωτικά de-Sitter χώρος) δρα θερμοδυναμικά, σταθεροποιητικά. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε στην περίπτωση της Γενικής Σχετικότητας. Επιπλέον, στη θερμοδυναμική επεξεργασία της Γενικής Σχετικότητας, συνάγουμε την εξίσωση της σχετικιστικής υδροστατικής ισορροπίας (εξίσωση Tolman-Oppenheimer-Volkov) για μια σφαίρα τέλειου ρευστού από το ακρότατο της εντροπίας στη θεώρηση της μικροκανονικής συλλογής και από το ακρότατο της ελεύθερης ενέργειας στην κανονική συλλογή. Η συνθή- κη ευστάθειας που καθορίζεται από την εξίσωση μεταβολών δεύτερης τάξης της εντροπίας συμπίπτει ακριβώς με τη συνθήκη ισορροπίας που συνάγεται απο μεταβολές (variations) σε πρώτη τάξη γύρω απο την κατάσταση ισορροπίας, στις δυναμικές εξισώσεις του Einstein. Συνεπώς, δείχνουμε την ισοδυναμία της μικροκανονικής θερμοδυναμικής ισορροπίας με την γραμμική δυναμική ισορροπία για ένα στατικό, σφαιρικά συμμετρικό ρευστό στη Γενική Σχετικότητα.

We study the thermodynamics of self-gravitating gas in General Relativity and the Newtonian limit. Main emphasis is given on the effect of a cosmological constant term on the thermodynamic stability of static fluid spheres. In Gravity, the statistical ensembles are not equivalent and we perform the analysis both in the microcanonical as well as the canonical ensemble. In the Newtonian Gravity is known that there appear two thermodynamic instabilities, the ‘Gravothermal Catastrophe’ in the microcanonical ensemble and the ‘isothermal collapse’ in the canonical ensemble. We formulate both instabilities in the presence of a cosmological constant. In case of a positive cosmological constant, reentrant phase transitions are observed. In the microcanonical ensemble, apart from the critical radius up to which equilibria exists, there appears a second big- ger critical radius associated with the cosmological constant, where equilibrium states are restored. In the canonical ensemble, apart from the critical temperature, down to which equilibria exist, there appears a second lower critical temperature associated with the cosmological constant, where equilibrium states are restored. In both ensembles, a negative cosmological constant (asymptotically Anti-de Sitter space) acts as a thermodynamic destabilizer, while a positive cosmological constant (asymptotically de-Sitter space) acts as a thermodynamic stabilizer. The later conclusion is reached in the General Relativistic analysis, as well. In addition, in our thermodynamic treatment of General Relativity, we obtain for a static, perfect fluid sphere with a general equation of state, the relativistic equation of hydrostatic equilibrium, namely the Tolman-Oppenheimer-Volkov equation, as the thermodynamic equilibrium in the microcanonical, as well as the canonical, ensemble. The stability condition determined by the second variation of entropy coincides with the dynamical stability condition derived by variations to first order in the dynamical Einstein’s equations. Thus, we show the equivalence of microcanonical thermodynamic stability with linear dynamical stability for a static, spherically symmetric field in General Relativity.