Υπολογισμός ενεργού δυναμικού με συναρτησιακές τεχνικές στην κβαντική θεωρία πεδίου

Abstract

Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη και ο υπολογισμός του ενεργού δυναμικού στα πλαίσια της κβαντικής θεωρίας πεδίου (ΚΘΠ) με τη χρήση συναρτησιακών τεχνικών. Ως ενεργό δυναμικό μιας ΚΘΠ ορίζεται το κλασικό δυναμικό συμπεριλαμβα-νομένων των κβαντομηχανικών διορθώσεων, του οποίου το ελάχιστο αντιστοιχεί στο κενό της κβαντικής θεωρίας που περιγράφει. Αρχικά αναλύεται η έννοια του διαδότη στην κβαντική μηχανική, ο οποίος εκφράζεται στη μορφή ολοκληρώματος τροχιάς. Ακολούθως γενικεύεται η έννοια του διαδότη στην ΚΘΠ, όπου υπολογίζονται οι συναρτήσεις συσχέτισης της ελεύθερης και αλληλεπιδρώσας βαθμωτής θεωρίας μέσω της διαφόρισης των συναρτη-σιακών τους γεννητόρων. Οι εν λόγω υπολογισμοί, όμως, εμπεριέχουν απειρισμούς, οι οποίοι απαλείφονται με την τεχνική της ανακανονικοποίησης προκειμένου οι φυσικές παράμετροι να είναι πεπερασμένες. Εν συνεχεία, εισάγεται συνοπτικά το φαινόμενο της αυθόρμητης ρήξης της συμμετρίας και αναλύονται οι επιπτώσεις που προκαλεί. Τέλος, υπολογίζεται η γενική μορφή του ενεργού δυναμικού και εφαρμόζεται στο μοντέλο Coleman – Weinberg, όπου οι κβαντομηχανικές διορθώσεις οδηγούν από μια θεωρία με μοναδικό κενό σε μια θεωρία με αυθόρμητη ρήξη της συμμετρίας.

The purpose of the present thesis is to describe the computation of the effective potential of a Quantum Field Theory (QFT) using functional techniques and to study some of its novel features. The effective potential of a QFT is derived by modifying the classical potential through the inclusion of quantum corrections and its minima correspond to the vaccua of the quantum theory we wish to describe. Initially we introduce the notion of the propagator in Quantum Mechanics and we show how this is derived via the path integral formulation. Next we generalize the notion of the propagator from QM to QFT and we show how to use the generating functional for free and interacting scalar QFTs in order to compute their correlation functions. The aforementioned computations lead to divergent terms and therefore we introduce the notion of renormalization of the QFT, which allows us to subtract the infinite quantities which appear in quantum computations in order to get finite physical quantities. Subsequently, we give a short introduction to theories with Spontaneous Symmetry Breaking (SSB) in their vacuum structure. Finally, we derive the general form of the effective potential and apply it at the Coleman-Weinberg model, where quantum corrections can lead from a theory with a single vacuum to a theory with SSB.