Μουσική και Συμμετρία: Οι δράσεις της ατονικής και της neo-Riemannian ομάδας πάνω στο σύνολο των συμφώνων τριάδων

Abstract

Η παρούσα διπλωματική έχει ως αντικείμενο την περιγραφή των συμμετριών στη μουσική μέσω της θεωρίας ομάδων. Μετά την αντιστοίχιση των νοτών με το Ζ12, μελετούνται ξεχωριστά δύο ισόμορφες ομάδες: η ατονική και η neo-Riemannian ομάδα και οι απλές μεταβατικές δράσεις τους πάνω στο σύνολο των σύμφωνων τριάδων. Στο πλαίσιο της μελέτης αυτής, γίνεται λεπτομερής ανάλυση των δύο δυϊκών γραφημάτων, τα οποία απεικονίζουν γεωμετρικά τη δράση της neo-Riemannian ομάδας πάνω στο σύνολο των σύμφωνων τριάδων. Επιδιώκοντας μία περαιτέρω σύνδεση μεταξύ των δύο ομάδων , αποδεικνύεται ότι η ατονική και η neo-Riemannian είναι δυϊκές ομάδες και πως με δεδομένη την πρώτη μπορεί να κατασκευαστεί η δεύτερη ως δυϊκή της. Σε όλο το εύρος της εργασίας παρατίθενται μουσικά παραδείγματα, στα οποία γίνεται εμφανής η πρακτική εφαρμογή των παραπάνω συμπερασμάτων.

This thesis' subject is the description of symmetries in music via group theory. After corresponding musical notes to Z12, two isomorphic groups, the atonal and the neo-Riemannian group, and their simply transitive actions on the set of consonant triads, are being studied. In this sense, a detailed analysis of the two dual graphs, which depict geometrically the action of the neo-Riemannian group on the set of consonant triads, is presented. Aiming at a further connection between the two groups, it is proved that the atonal and the neo-Riemannian groups are dual, as well as that given the first group, the second can be constructed as its dual. Throughout the thesis, musical examples are presented, demonstrating the application of the conclusions mentioned above.