Διερεύνηση κριτηρίων αντοχής πετρωμάτων σε τρεις διαστάσεις

Abstract

Στόχος αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι να αποτιμήσει τα καθιερωμένα κριτήρια αστοχίας της Βραχομηχανικής καθώς και να διερευνήσει την ισχύ νέων κριτηρίων αστοχίας από την πρόσφατη βιβλιογραφία. Με τον όρο «κριτήρια αστοχίας» εννοούμε μαθηματικές εκφράσεις που προσδιορίζουν τον κατάλληλο συνδυασμό των κυρίων τάσεων για τον οποίο επέρχεται αστοχία. Η διατύπωση τέτοιων σχέσεων υποθέτει τη γνώση των συνθηκών που χαρακτηρίζουν την αλλαγή της μηχανικής συμπεριφοράς του βράχου και τη μετάβαση του από την ελαστική κατάσταση στη κατάσταση διαρροής. Εργαλείο για την υλοποίηση αυτού του στόχου αποτελούν πειραματικά δεδομένα που έχουν δημοσιευτεί κατά καιρούς από ερευνητές για διάφορους τύπους πετρωμάτων. Τα δεδομένα περιλαμβάνουν συνδυασμούς αστοχίας και των τριών κυρίων τάσεων. Για αυτό το λόγο, αυτά τα εργαστηριακά δεδομένα προσφέρονται για την αξιολόγηση τριδιάστατων κριτηρίων αστοχίας. Εξαιρετικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η διερεύνηση της επίδρασης της ενδιάμεσης κύριας τάσης στην αστοχία καθώς και η εξάρτηση που έχουν από αυτή οι διάφοροι τύποι πετρωμάτων. Συγκεκριμένα εξετάζεται η συμπεριφορά που προβλέπουν 10 κριτήρια αστοχίας για 7 τύπους πετρωμάτων (KTB Amphibolite, Dunham Dolomite, Solenhofen Limestone, Shirahama Sandstone, Yuubari Shale, Westerly Granite, Mizuho Trachyte). Ονομαστικά τα εξεταζόμενα κριτήρια αστοχίας είναι: 1) Drucker – Prager 2) Mohr – Coulomb 3) Hoek – Brown 4) Pan – Hudson 5) Priest 6) Zhang – Zhu 7) Mogi 8) Theocaris 9) Murrel 10) Modified Wiebols and Cook Η προσαρμογή των κριτηρίων στα πειραματικά δεδομένα γίνεται με γραμμικές και μη γραμμικές προσεγγίσεις με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων αλλά και με άλλες απλές αριθμητικές επιλύσεις στις οποίες αναζητείται ο προσδιορισμός του βέλτιστου εκείνου συνδυασμού παραμέτρων που ελαχιστοποιεί τις αποκλίσεις από τα πειραματικά δεδομένα. Βασικός περιορισμός στην αναζήτηση των βέλτιστων παραμέτρων των εκάστοτε κριτηρίων είναι η οριοθέτηση των παραμέτρων μέσα σε κάποιο φάσμα τιμών, τα οποία είναι πειραματικά αποδεδειγμένα (π.χ. λόγος αντοχής σε θλίψη προς αντοχή σε εφελκυσμό ή η μονοαξονική αντοχή σε θλίψη). Συχνά, σε αρκετές περιπτώσεις κριτηρίων, η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων προέβλεπε τιμές παραμέτρων έξω από το αποδεκτό φάσμα τιμών. Σε αυτές τις περιπτώσεις χρειάστηκε να υιοθετηθεί φραγμένη αναζήτηση των παραμέτρων μέσα στα αποδεκτά όρια, γεγονός που οδηγεί σε αύξηση των αποκλίσεων από τα πειραματικά δεδομένα. Η εργασία καταλήγει σε μία συγκριτική αξιολόγηση των κριτηρίων αστοχίας. Συγκρίνονται με βάση τις προβλέψεις τους για την τιμή της μονοαξονικής αντοχής σε θλίψη καθώς και της παραμέτρου που ορίζει το λόγο αντοχής σε θλίψη και εφελκυσμό. Ακόμα, συγκρίνονται με βάση τα ποσοστά απόκλισης τους από τα εργαστηριακά δεδομένα. Τέλος, μέτρο σύγκρισης είναι και ο σταθμιστικός παράγοντας της ενδιάμεσης κύριας τάσης που πρακτικά σχετίζεται με την κλίση του επιπέδου αστοχίας ως προς την κατεύθυνση της ενδιάμεσης κύριας τάσης. Τα βασικά συμπεράσματα αυτής της εργασίας συνοψίζονται στα εξής: A) Ως προς την πρόβλεψη της μονοαξονικής αντοχής σε θλίψη: • Τα κριτήρια Mohr – Coulomb και Hoek – Brown υπερεκτιμούν την αντοχή σε μονοαξονική θλίψη. Το Mohr – Coulomb την υπερεκτιμά σε ποσοστά από 50 ως 80% και το Hoek – Brown ως 70%. Το Inscribed Drucker – Prager την υπερεκτιμά ως και 200% και το Circumscribed ως 90%. Το κριτήριο Murrel την υπερβαίνει σε ποσοστά ως 150 %. Το κριτήριο Pan – Hudson την υπερεκτιμά ως 50 %. • Το κριτήριο Modified Wiebols and Cook επιτυγχάνει εύστοχες προβλέψεις της μονοαξονικής αντοχής σε θλίψη. Τα κριτήριο Zhang – Zhu, Priest και Modified Theocaris προβλέπουν υπερεκτιμήσεις ως 20%. B) Ως προς τα ποσοστά απόκλισης από τα εργαστηριακά δεδομένα: • Τα μικρότερα ποσοστά απόκλισης επιτυγχάνει το κριτήριο Priest (Simplified) και ακολουθεί το κριτήριο Theocaris (Modified). Αμέσως μετά έρχεται το κριτήριο Zhang – Zhu. Ακολουθούν τα κριτήρια Modified Wiebols and Cook και Mogi. • Tα μεγαλύτερα ποσοστά απόκλισης παρουσιάζονται στο κριτήριο Pan – Hudson το οποίο ακολουθείται από το κριτήριο Murrel. Tα κριτήρια Mohr – Coulomb και Hoek – Brown παρουσιάζουν μικρότερες αποκλίσεις και μάλιστα το Ηoek – Brown δίνει μικρότερες αποκλίσεις από το Mohr – Coulomb. C) Ως προς τον «σταθμιστικό παράγοντα» της ενδιάμεσης κύριας τάσης Ο «σταθμιστικός παράγοντας» της ενδιάμεσης κύριας τάσης εμφανίζεται στα κριτήρια Mogi και Priest και προστέθηκε στην τροποποίηση του κριτηρίου του Theocaris, που επιχειρούμε στα πλαίσια αυτής της διπλωματικής εργασίας. Ξεχωριστά για κάθε πέτρωμα προέκυψε: • KTB Amphibolite: Τα κριτήρια Mogi (1967) και Priest (Simplified) προβλέπουν τιμές 0.15 και 0.21 αντίστοιχα, ενώ το Theocaris (Modified) προβλέπει τιμή ίση με τη μονάδα. • Dunham Dolomite: Τα κριτήρια Mogi (1967) και Theocaris (Modified) προβλέπουν τιμές 0.52 και 0.5 αντίστοιχα και το Priest (Simplified) 0.28. • Solenhofen Limestone: Τα κριτήρια Mogi (1967) και Theocaris (Modified) προβλέπουν τιμές 0.47 και 0.4 αντίστοιχα και το Priest (Simplified) 0.23. • Shirahama Sandstone: Τα κριτήρια Mogi (1967) και Theocaris (Modified) προβλέπουν τιμές 0.04 και 0.1 αντίστοιχα και το Priest (Simplified) 0.18. • Yuubari Shale: Τα κριτήρια Mogi (1967) και Theocaris (Modified) προβλέπουν τιμές 0.24 και 0.3 αντίστοιχα και το Priest (Simplified) 0.27. • Westerly Granite: Τα κριτήρια Mogi (1967) και Theocaris (Modified) προβλέπουν τιμές 0.19 και 1 αντίστοιχα και το Priest (Simplified) 0.25. • Mizuho Trachyte: Τα κριτήρια Mogi (1967) και Theocaris (Modified) προβλέπουν τιμές 0.24 και 0.15 αντίστοιχα και το Priest (Simplified) 0.25.

The aim of this thesis is to estimate the most frequently used failure criteria in rock mechanics and to investigate the applicability and performance of versions of failure criteria published recently. The term “failure criteria” defines those mathematical expressions that determine the appropriate principal stress combination for which failure begins. The formulation of such expressions assumes that the conditions which characterize the change in mechanical behavior of rock and its transition from elastic to yield condition are known. Tool for achieving this objective are experimental data published from time to time by researchers for different types of rocks. The published data include polyaxial test data (σ1>σ2>σ3). Therefore, they are suitable for evaluation of several three-dimensional failure criteria. Of special interest is the investigation of the effect of the intermediate principal stress on failure and the amount of σ2 dependence that different types of rock show. In this study we examine ten different failure criteria by comparing them to the test data for seven different rock types. (KTB Amphibolite, Dunham Dolomite, Solenhofen Limestone, Shirahama Sandstone, Yuubari Shale, Westerly Granite, Mizuho Trachyte). Nominally the failure criteria considered are: 11) Drucker – Prager 12) Mohr – Coulomb 13) Hoek – Brown 14) Pan – Hudson 15) Priest 16) Zhang – Zhu 17) Mogi (1967, 1971) 18) Theocaris 19) Murrel 20) Modified Wiebols and Cook The adjustment of criteria to experimental data applies linear and nonlinear approaches with the method of least squares and other simple numerical investigation which sought to identify the optimal combination of parameters that minimizes deviations from the experimental data. The main restriction on the search for optimal parameters of each criterion is the definition of parameters within an expectable range of values which is experimentally proven (eg the strength differential effect). In many cases, the least squares method provides parameter values outside the acceptable range. In these cases the parameters had to be bounded within acceptable limits, leading to an increase in the deviations from the experimental data. The study results in a comparative assessment of the failure criteria. They are compared in reference to their predictions of uniaxial compressive strength and strength differential effect as well as the amounts of deviations from the test data. Finally, the predicted values for the weighting factor of the intermediate principal stress, practically related to the deviation of the failure plane from the σ2-direction, are also compared. The main conclusions of this thesis are summarized as follows: A) Estimations of uniaxial compressive strength • The failure criteria Mohr–Coulomb and Hoek–Brown systematically overestimate the uniaxial compressive strength. Mohr – Coulomb overestimates the strength of the rock by 50 to 80% and Hoek – Brown to 70%. Inscribed Drucker–Prager overestimates the strength of the rock up to 200% and Circumscribed Drucker-Prager to 90%. Murrel criterion exceeds the strength up to 150%. Pan and Hudson criterion overestimates the strength of rock by 50%. • The Modified Wiebols and Cook criterion achieves accurate predictions of uniaxial compressive strength. The Zhang – Zhu, Priest and Modified Theocaris criteria end up overestimating the strength up to 20%. B) Percentage deviations between theoretical predictions of the maximum principal stress and the respective values of the experimental data. • The lowest misfits achieves the Simplified Priest criterion as well as the Modified Theocaris. These are followed by the Zhang – Zhu criterion which also shows very good results. Modified Wiebols and Cook and Mogi criteria reasonably reproduce the trend of the experimental data achieving low misfits. • Pan Hudson criterion gives the poorest results followed by the Murrel criterion which also does not give good misfits. Mohr –Coulomb and Hoek – Brown criteria, which do not account for the effect of σ2, produce lower misfits as the Murrel and Pan Hudson criteria and Hoek - Brown achieves lower misfits than the Mohr – Coulomb criterion. C) Intermediate principal stress weighting factor An Intermediate principal stress weighting factor has been adopted by Mogi and Priest and appears in the their equations. In this study, the introduction of such a factor has been implemented by numerical solutions. Seperately for each rock type our investigation yielded the following values for the σ2 weighting factor: • KTB Amphibolite: Mogi (1967) and Simplified Priest criteria predict a value of 0.15 and 0.21 respectively, while Modified Theocaris proposes that the factor is equal to 1. • Dunham Dolomite: Mogi (1967) and Modified Theocaris propose the values of 0.52 and 0.5 respectively, while the Simplified Priest predicts that the factor is equal to 0.28. • Solenhofen Limestone: Mogi (1967) and Modified Theocaris propose the values of 0.47 and 0.4 respectively, while the Simplified Priest predicts that the factor is equal to 0.23. • Shirahama Sandstone: Mogi (1967) and Modified Theocaris propose the values of 0.04 and 0.1 respectively, while the Simplified Priest predicts that the factor is equal to 0.18. • Yuubari Shale: Mogi (1967) and Modified Theocaris propose the values of 0.24 and 0.3 respectively, while the Simplified Priest predicts that the factor is equal to 0.27. • Westerly Granite: Mogi (1967) and Modified Theocaris propose the values of 0.19 and 1 respectively, while the Simplified Priest predicts that the factor is equal to 0.25. • Mizuho Trachyte: Mogi (1967) and Modified Theocaris propose the values of 0.24 and 0.15 respectively, while the Simplified Priest predicts that the factor is equal to 0.25.