Η συνεχής συζυγής μέθοδος για περιοδικές ροές, με εφαρμογή της μεθόδου ισορροπίας των αρμονικών στην επίλυση του ευθέος και του συζυγούς προβλήματος

Abstract

Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η εφαρμογή και η πιστοποίηση της μεθόδου ισορροπίας των αρμονικών στην επίλυση τόσο του ευθέος όσο και του συζυγούς προβλήματος που προκύπτει από τη συνεχή συζυγή μέθοδο (continuous adjoint method) και στον υπολογισμό των παραγώγων ευαισθησίας για μία αεροτομή. Η πιστοποίηση της μεθόδου γίνεται για διαφορετικές εφαρμογές όπου η ροή ασυμπίεστου ρευστού που μελετάται παραμένει στρωτή και είναι περιοδικά μεταβαλλόμενη στο χρόνο.

Η συνεχής συζυγής μέθοδος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της κλίσης μίας αντικειμενικής συνάρτησης ως προς τις μεταβλητές σχεδιασμού. Ως μεταβλητές σχεδιασμού στις εφαρμογές που περιλαμβάνονται στην εργασία αυτή τέθηκαν οι μετατοπίσεις των κόμβων της μελετούμενης αεροτομής κατά την κάθετη στο τοίχωμα της αεροτομής διεύθυνση. Οι συνεχείς συζυγείς εξισώσεις και οριακές συνθήκες, καθώς και οι παράγωγοι ευαισθησίας προκύπτουν από την παραγώγιση της επαυξημένης αντικειμενικής συνάρτησης. Η τελευταία προκύπτει από την προς ελαχιστοποίηση συνάρτηση στην οποία προστίθενται τα χωρικά και χρονικά ολοκληρώματα των μη-μόνιμων εξισώσεων κατάστασης (Navier-Stokes) του ευθέος προβλήματος πολλαπλασιασμένες με τις συζυγείς μεταβλητές.

Τα δύο προβλήματα (ευθύ και συζυγές), καθότι περιοδικά, επιλύονται αφού πρώτα εφαρμοστεί η μέθοδος ισορροπίας των αρμονικών με την οποία οι χρονικά μη-μόνιμες εξισώσεις που περιγράφουν το κάθε πρόβλημα αντικαθίστανται από ένα σύστημα χρονικά μόνιμων εξισώσεων που είναι μεταξύ τους πεπλεγμένες. Τα συστήματα εξισώσεων διακριτοποιούνται και επιλύονται με έναν κοινό αλγόριθμο επίλυσης χρονικά μόνιμων προβλημάτων. Η συγκεκριμένη τεχνική αποσκοπεί στη μείωση του υπολογιστικού κόστους της επίλυσης χρονικά μη-μόνιμων ροών και στη μειωμένη δέσμευση μνήμης, καθώς η επίλυση του συζυγούς προβλήματος απαιτεί αποθήκευση της λύσης του ευθέος προβλήματος.

Στην εργασία αυτή, η πιστοποίηση της μεθόδου επίλυσης του ευθέος προβλήματος γίνεται μέσω σύγκρισης των δυνάμεων άνωσης και αντίστασης που ασκούνται πάνω στην αεροτομή, όπως υπολογίζονται με τη χρήση της μεθόδου ισορροπίας των αρμονικών, με τις δυνάμεις που υπολογίζει ένας ``κλασικός επιλύτης" χρονικά μη-μόνιμων ροών. Για το συζυγές πρόβλημα, η πιστοποίηση βασίζεται στη σύγκριση των παραγώγων ευαισθησίας που υπολογίζονται με τις δύο μεθόδους. Η διερεύνηση της αξιοπιστίας της μεθόδου γίνεται για τρεις διαφορετικές εφαρμογές, όπου εξετάζεται κυρίως η επίδραση του αριθμού Reynolds της ροής και το πλάτος ταλάντωσης της γωνίας που σχηματίζει το διάνυσμα της επ' άπειρον ροής με τη χορδή της αεροτομής.

Η εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας περιελάμβανε προγραμματισμό σε γλώσσα προγραμματισμού C++ και τη χρήση του ελεύθερου λογισμικού OpenFOAM (για το οποίο η συζυγής μέθοδος έχει προγραμματιστεί στη Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης) με το οποίο γίνονται και όλοι οι υπολογισμοί των ροϊκών μεγεθών.

The aim of this diploma thesis is the application and validation of the harmonic balance method for solving both the primal and adjoint problems. The adjoint problem results from the application of the continuous adjoint. This thesis is primarily concerned with the successful calculation of the sensitivity derivativies of an airfoil. For the validation of the harmonic balance method, various cases are studied, in all of which the unsteadiness of the laminar flow of an incompressible fluid is the result of the periodical time variation of the flow conditions.

The continuous adjoint method is used in the calculation of the gradient of an objective function, with respect to the design variables. The normal (with respect to the shape skin) displacement of each point along the airfoil constitute the design variables of the optimization problem. The continuous adjoint equations, the corresponding boundary conditions and sensitivity derivatives are derived using an objective function, the choice of which is not of a matter, augmented with the field and time integral of the product of the unsteady state equations (Navier-Stokes) that describe the primal problem, with the adjoint variables.

Both problems - the primal and the adjoint problems - are solved via the the harmonic balance method, provided that one of the boundary conditions varies periodically with time. With the application of the harmonic balance method, each equation of the unsteady problem is replaced with a system of coupled steady equations. The equations in the latter are descritized and both the primal and adjoint problems are solved with the corresponding boundary conditions and with the use of the same algorithm, suitable for solving steady problems. This technique aims at reducing the computational cost of solving an unsteady problem, as well as the required memory, provided that the solution of the adjoint problem requires the solution of the primal problem to be stored.

For the validation of the method, the results obtained by the use of the harmonic balance method are compared with those of a commonly used unsteady solver, i.e. the one that solves the flow equations in the time domain. Regarding the primal problem, validation is achieved by comparing the forces acting on the airfoil, while for the adjoint problem by comparing the sensitivity derivatives computed on the airfoil. Three different cases are studied, so as to examine mainly the effect of different values of Reynolds number as well as of the amplitude of the oscillation of the angle of attack.

The coding needed for this diploma thesis is done in C++. Moreover, OpenFOAM, a free, internet-distributed software (for which the adjoint method was programmed at the Parallel CFD & Optimization Unit of NTUA) was used.