Εφαρμογές θεωρίας σύνθετων συστημάτων (complex systems) και fractal γεωμετρίας σε θέματα ανάπτυξης δικτύων ηλεκτρικής ενέργειας

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζεται μία αρχική προσπάθεια να εφαρμοστεί η fractal γεωμετρία στο σχεδιασμό, την ανάπτυξη και την επέκταση των δικτύων ηλεκτρικής ενέργειας. Για το λόγο αυτό αναπτύχθηκαν διάφορα μοντέλα fractal ανάπτυξης και τα αποτελέσματα της προσομοίωσης τους συγκρίθηκαν με τις διαθέσιμες εικόνες δικτύων έτσι ώστε να διαπιστωθεί, αρχικά αν μοιάζουν με δίκτυα και στη συνέχεια για να επιλεγεί το κατάλληλο μοντέλο. Το πρώτο στάδιο της εργασίας περιλαμβάνει τη βιβλιογραφική διερεύνηση δύο θεματικών ενοτήτων: των δικτύων ηλεκτρικής ενέργειας και της fractal γεωμετρίας. Στη θεματική ενότητα των δικτύων ηλεκτρικής ενέργειας περιγράφεται αναλυτικά η δομή τους και γίνεται αναφορά στους βασικούς άξονες σύμφωνα με τους οποίους υλοποιείται η ανάπτυξη του ηλεκτρικού δικτύου καθώς και κάποια έργα ενισχύσεων-βελτιώσεων του. Στο τμήμα της fractal γεωμετρίας μέσω παραδειγμάτων (τόσο μαθηματικών όσο και φυσικών) δίνεται ο ορισμός ενός fractal αντικειμένου και των χαρακτηριστικών του. Ορίζεται επίσης η fractal διάσταση, παρουσιάζεται ο θεωρητικός τρόπος εύρεσης της και εφαρμόζεται σε κάποια γνωστά ντετερμινιστικά fractal σχήματα. Εξηγείται ακόμη η διαφορά μεταξύ ντετερμινιστικών και στοχαστικών fractal καθώς τα ηλεκτρικά δίκτυα εμπίπτουν στη δεύτερη κατηγορία. Τέλος γίνεται αναφορά σε όλες τις πρακτικές μεθόδους προσδιορισμού fractal διαστάσεων σε αναπτυσσόμενες δομές και πιο συγκεκριμένα αναλύεται η μέθοδος box-counting που θα χρησιμοποιηθεί στην παρούσα εργασία. Σε δεύτερο στάδιο αναλύονται όλα τα μοντέλα fractal ανάπτυξης που θα χρησιμοποιηθούν για την προσομοίωση αναπαράστασης ηλεκτρικών δικτύων και τα οποία είναι: το Diffusion-Limited Aggregation Model (DLA), το Dielectric Breakdown Model (DBM) και οι διάφορες παραλλαγές τους. Γίνεται λεπτομερής περιγραφή τόσο του αλγορίθμου ανάπτυξης που ακολουθεί το κάθε μοντέλο όσο και του τρόπου υλοποίησης του στο λογισμικό Matlab. Στο τρίτο στάδιο μετράται η fractal διάσταση κάποιων διαθέσιμων ηλεκτρικών δικτύων με τη χρήση του box-counting αλγορίθμου. Παρουσιάζονται επίσης τα αποτελέσματα της προσομοίωσης όλων των μοντέλων fractal ανάπτυξης και των fractal διαστάσεων τους. Τέλος επιλέγεται το καταλληλότερο μοντέλο για την προσομοίωση αναπαράστασης δικτύων ηλεκτρικής ενέργειας και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα για την ανάπτυξη και επέκταση δικτύου.

This thesis presents an initial attempt to apply fractal geometry in the design, development and expansion of electrical grids. For this reason, various fractal growth models were designed and the simulation results were compared with the available images of grids to determine whether they resemble grids and then to select the appropriate model. The first section, of this thesis includes the literature investigation of two parts: electrical grids and fractal geometry. In the first part the structure of the electrical grids is described, and the basic rules of the development of the grid are introduced. In the second part a fractal object and its characteristics are defined through examples (both mathematical and physical). The fractal dimension is also specified and the theoretical way of its determination is presented and applied to a few known deterministic fractal shapes. Moreover, the difference between deterministic and stochastic fractals is explained as electrical networks fall into the second category. Finally, all the practical methods for determining fractal dimensions in growing structures are presented and the box-counting method is analyze more specifically. In the second section, the fractal growth models to be used for the simulation of electrical grids is analyzed which are: the Diffusion-Limited Aggregation Model (DLA), the Dielectric Breakdown Model (DBM) and their modified versions. The algorithms of its model are developed using Matlab. In the third section, the fractal dimension of the available electrical grids is measured using the box-counting algorithm. There is also the presentation and the comparison of the result structures of all the fractal growth models and their fractal dimension. Finally the most appropriate model for simulating electrical grids is selected its results, for network growth and expansion, is presented.