Θεωρία Ramsey και εφαρμογές στη θεωρία χώρων Banach

Abstract

Η διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε κατά τη διάρκεια των ετών 2007-2010 και εντάσσεται στα πλαίσια της θεωρίας Ramsey και της θεωρίας χώρων Banach. Το περιεχόμενο της χωρίζεται σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος φέρει τον τίτλο «Τα spreading models στη θεωρία χώρων Banach». Εδώ ορίζονται τα spreading models υψηλότερης τάξης. Πρώτα ορίζονται οι F-ακολουθίες, όπου F μια regular thin οικογένεια, και οι πλεγματικές οικογένειες, μια έννοια με καθαρά συνδυαστικό χαρακτήρα. Αυτά είναι τα βασικά χαρακτηριστικά του ορισμού των F-spreading models. Η απόδειξη της ύπαρξης τους στηρίζεται στις Ramsey ιδιότητες των πλεγματικών οικογενειών. Η περαιτέρω μελέτη των πλεγματικών οικογενειών προσφέρει τη δυνατότητα ανεξαρτητοποίησης των F-spreading models από την regular thin οικογένεια F και περιορίζεται η εξάρτηση μόνο στη τάξη της F, που είναι ένας αριθμήσιμος διατακτικός αριθμός. Με τον τρόπο αυτό οδηγούμαστε στον ορισμό των ξ-spreading models, όπου ξ αριθμήσιμος διατακτικός αριθμός. Έπειτα γίνεται εκτενής μελέτη των ιδιοτήτων των spreading models υψηλότερης τάξης και γενικεύονται αποτελέσματα γνωστά για την περίπτωση των κλασικών spreading models. Το πρώτο μέρος κλείνει με μια σειρά παραδειγμάτων, σκοπός, των οποίων είναι να απαντηθούν διάφορα ερωτήματα που προκύπτουν από την σχετική θεωρία και να σκιαγραφηθούν τα όρια της. Το δεύτερο μέρος φέρει τον τίτλο «Μια διακριτή προσέγγιση του παιχνιδιού του W.T. Gowers». Εδώ δίνεται μια εναλλακτική απόδειξη του θεωρήματος του W.T. Gowers, που έχει σαν συνέπεια τη περίφημη διχοτομία του. Η απόδειξη που περιέχεται στο κείμενο αυτό κινείται στις γραμμές της αρχικής απόδειξης του W.T. Gowers αλλά είναι προσανατολισμένη να απομονώσει τα επιχειρήματα συνδυαστικής φύσης που παίρνουν μέρος σε αυτή και να χρησιμοποιήσει τις προσεγγίσεις στο πολύ τέλος, ακριβώς δηλαδή τη στιγμή που είναι πραγματικά αναγκαίες. Για το λόγο αυτό ορίζεται το διακριτό παιχνίδι του Gowers που πραγματοποιείται μέσα σε ένα αριθμήσιμο δίκτυο ενός χώρου Banach και το οποίο ικανοποιεί κάποιες ιδιότητες. Σε αυτό πλαίσιο αποδεικνύεται ένα διακριτό ανάλογο του θεωρήματος του Gowers. Τόσο στο αποτέλεσμα όσο και στην αποδεικτική διαδικασία δε συμμετέχουν καθόλου οι δ-προσεγγίσεις. Με την κατασκευή ενός κατάλληλου δικτύου, που ικανοποιεί επιπλέον μια ιδιότητα που έχει να κάνει με δ-προσεγγίσεις, είμαστε σε θέση να δείξουμε το θεώρημα του Gowers.

This thesis developed during the years 2007-2010 and belongs to the area of the Ramsey theory and the Banach space theory. Its context is divided into two parts. The first part is entitled as “The spreading models in the Banach space theory”. The spreading models of higher order are defined here. First the F-sequences, where F is a regular thin family, and the plegma families, a notion of pure combinatorial nature, are defined. These are the basic ingredients of the definition of the F-spreading models. The proof of their existence is based on the Ramsey properties of the plegma families. The further study of the plegma families allows showing that the F-spreading models of a Banach space actually depend only on the order of the regular family F, which is a countable ordinal number. The latter leads to the definition of the ξ-spreading models, where ξ is a countable ordinal number. We present a detailed study of the properties of the higher order spreading models and we generalize several known results concerning the classical spreading models. The first part concludes with a series of examples illustrating the boundaries of the related theory. The second part is entitled as “A discritized approach to W.T. Gowers’ game”. We provide an alternative proof of the theorem of W.T. Gowers, which has as a consequence his famous dichotomy. The proof contained in this text moves along the general principles of the original proof of W.T. Gowers, but it intends to isolate the arguments of combinatorial nature which take part in it and uses the approximations at the very end, at the point that they are really necessary. To this end, we define the discritized analogue of the Gowers’ game, which takes place in a countable net in a Banach space and satisfies some certain properties. In this frame we prove a discritized analogue of Gowers’ theorem. In both the result and the proving process there are no δ-approximations. By constructing a suitable net, satisfying an additional property related to the δ-approximations, we are able to prove Gowers’ theorem in its full generality.