Ανάλυση Φορέων με μη Πλεγματικές Μεθόδους τύπου Galerkin

Abstract

Στις μέρες μας, θέματα που σχετίζονται με την μοντελοποίηση και την προσομοίωση, διαδραματίζουν ένα σημαντικό ρόλο στην οικοδόμηση και την εξέλιξη των υπολογιστικών συστημάτων στον τομέα του μηχανικού. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων υπήρξε η κυρίαρχη μέθοδος της υπολογιστικής μηχανικής κατά τις τελευταίες δεκαετίες, ενώ σημαντική παραμένει η συνεισφορά της στην επιστήμη, την τεχνολογία και την βιομηχανία. Παρόλα αυτά, και στην μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων υπάρχουν περιορισμοί, οι οποίοι μπορούν να γίνουν ορατοί κατά την επίλυση προβλημάτων μεγάλων μετατοπίσεων, ή κατά την προσομοίωση ασυνεχειών, όπως η διάδοση τυχούσας ρωγμής σε ένα συνεχές μέσο. Συνήθως τέτοια προβλήματα αντιμετωπίζονται από την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, με την πύκνωση του δικτύου στις συγκεκριμένες περιοχές του φορέα, μία χρονοβόρα διαδικασία, που θα πρέπει να εκτελείται με ιδιαίτερη προσοχή, ώστε να διατηρηθεί η καλή κατάσταση του αρχικού πλέγματος. Παρόλα αυτά, μερικές φορές φαντάζει πολύ δύσκολο έως αδύνατο, να ξεπεραστούν αυτές οι δυσκολίες που προκύπτουν από την παρουσία δικτύου. Έτσι λοιπόν η ανάπτυξη μη πλεγματικών μεθόδων προσομοίωσης, έχει προσελκύσει το ενδιαφέρον μεγάλου μέρους της επιστημονικής κοινότητας τα τελευταία χρόνια. Οι μη πλεγματικές μέθοδοι διακριτοποιούν ένα συνεχές μέσο χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων, ενώ η προσέγγιση που προκύπτει βασίζεται εξ ολοκλήρου στα σημεία αυτά. Κατά την εφαρμογή των μεθόδων αυτών, δεν υπάρχει ανάγκη δημιουργίας δικτύου, ούτε η παρουσία στοιχείων κατά την προσομοίωση ενός φορέα. Μέχρι στιγμής μεγάλη πρόοδος έχει συντελεστεί στον τομέα της ανάπτυξης μη πλεγματικών μεθόδων, ενώ παράλληλα πολλές πτυχές τους επιδέχονται βελτίωσης. Είναι προφανές ότι οι παραπάνω μέθοδοι προσφέρουν ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών, καθώς όπως φαίνεται μπορούν να παρέχουν λύσεις σε πολλά σύγχρονα υπολογιστικά προβλήματα. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, παρουσιάζεται μια χαρακτηριστική μη πλεγματική μέθοδος, η μέθοδος Element Free Galerkin (EFG). Το θεωρητικό υπόβαθρο της μεθόδου αναλύεται εκτενώς, ενώ ταυτόχρονα παρέχεται μια λεπτομερής διατύπωση των εξισώσεων που διέπουν την μέθοδο αυτή. Ειδική αναφορά γίνεται και σε θέματα όπως η αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης και ο τρόπος επιβολής των συνοριακών συνθηκών. Για τις ανάγκες της παρούσας διπλωματικής εργασίας αναπτύχθηκε κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού Matlab. Για να διερευνηθούν ζητήματα όπως η σύγκλιση της μεθόδου και η αποτελεσματικότητα στην εφαρμογή της, επιλέχθηκε ένας τυπικός επίπεδος πρόβολος, σαν πρόβλημα αναφοράς. Στο έκτο και έβδομο κεφάλαιο αυτής της διατριβής προτείνονται κάποιες ιεραρχικές ιδέες για την μέθοδο EFG. Κάνοντας χρήση αυτών των εννοιών, εισάγεται μια ιεραρχική μέθοδος προσαρμογής η οποία προτείνεται για την βελτίωση υπολογισθέντων λύσεων και την μετεπεξεργασία αποτελεσμάτων που έχουν προκύψει από την εφαρμογή της μεθόδου EFG. Η μέθοδος EFG παρουσιάστηκε πιο χρονοβόρα σε σύγκριση με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Μια τέτοια μέθοδος προσαρμογής, λοιπόν, υπόσχεται να δώσει βελτιωμένα αποτελέσματα με χαμηλό υπολογιστικό κόστος. Προκειμένου να διευκρινιστεί αυτή η τεχνική, παρουσιάζεται το θεωρητικό της υπόβαθρο, ενώ επιλύονται και δύο προβλήματα αναφοράς, ο επίπεδος πρόβολος και ένα δισδιάστατο πρόβλημα μορφής L. Στο τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα συμπεράσματα που προέκυψαν από την χρήση της μεθόδου EFG και την ιεραρχική μέθοδο προσαρμογής, ενώ δίνονται και προτάσεις για μελλοντική έρευνα.

Τopics related to modeling and simulation, play an important role in building and advancing engineering systems, in rapid and cost-effective ways. The Finite Element Method (FEM) has been the dominant technique in computational mechanics in the past decades, and it has made significant contributions to science, engineering and industry. Nevertheless, FEM limitations do exist, when it is applied to large deformations of materials or encountering discontinuities such as a crack propagation along arbitrary and complex paths. Usually FEM faces such problems with remeshing in certain areas of a problem domain, a time consuming procedure, that needs to be handled with special care, in order to maintain the good condition of the initial mesh. Sometimes though, it seems impossible to completely overcome those mesh-related difficulties by a mesh-based method. Because of those inherent limitations of FEM, mesh free methods started becoming of interest for a broad community of researchers only several years ago. Mesh free methods discretize the continuum body with only a set of nodal points, and the approximation is constructed entirely in terms of nodes. There is no need of mesh or elements in this method. Whereas, great advances of mesh free methods have been achieved, many aspects are still to be further explored and improved, making mesh free methods an interesting research area, with many potential solutions for challenging computational problems. In this thesis, a typical mesh free method, the Element Free Galerkin Method (EFG) is proposed. The theoretical background of the method is presented while detailed formulation and equations are provided. Technical issues, especially issues related to background integration and boundary conditions imposition, are also examined. Note that the Moving Least Square approximation is applied to form the shape functions of the EFG method, while the constrained Galerkin approach is used to enforce the essential boundary conditions. For the needs of this thesis supporting Matlab code was developed. A typical benchmark problem of a cantilever beam is considered, to illustrate issues such as the rate of convergence and implementation effectiveness. In the sixth and seventh chapter of the thesis, we propose some hierarchical concepts for the EFG method. Using these concepts, a hierarchical refinement is introduced, which offers an a posteriori treatment for the final results of an already calculated problem domain. The EFG method is considered to be a more time consuming process, compared to the FEM. Such a refinement promises to give better results at a lower computational cost. In order to clarify this technique the theoretical background is presented, as well as two typical benchmark problems, a cantilever beam and a L-shaped domain, are solved. Finally, in the last chapter the conclusions drawn from the use of the EFG method, and the hierarchical refinement process are presented, with suggestions for future research.