Εργοδικότητα και Γεωμετρία Χώρων Banach

Abstract

Σκοπός της διπλωματικής είναι η μελέτη της σύνδεσης της εργοδικότητας με την αυτοπάθεια σε έναν χώρο Banach. Αν X χώρος Banach και T γραμμικός και φραγμένος τελεστής από τον X στον X, ο Τ ονομάζεται τελεστής εργοδικού μέσου αν για κάθε σημείο x, η ακολουθία των μέσων όρων της τροχιάς του x μέσω του τελεστή T, συγκλίνει. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει στενή σύνδεση ανάμεσα στο πόσο πλούσια είναι η κλάση των τελεστών εργοδικού μέσου και στο αν ο υπό μελέτη χώρος είναι αυτοπαθής ή όχι. Στο Κεφάλαιο 1 αναφέρουμε επιγραμματικά τα εργαλεία που χρειαζόμαστε. Στο Κεφάλαιο 2 περιγράφουμε τα αρχικά ερωτήματα που ο κλάδος που σήμερα ονομάζουμε εργοδική θεωρία προσπάθησε να απαντήσει, με σκοπό να διαπιστώσουμε πώς σταδιακά αναδιατυπώθηκαν σε όρους θεωρίας τελεστών και πήραν μια πιο αφηρημένη μορφή. Τα πιο σημαντικά αποτελέσματα περιλαμβάνουν το Θεώρημα του Liouville, σύμφωνα με το οποίο η οικογένεια των λύσεων κάθε Χαμιλτονιανού συστήματος διατηρεί το μέτρο και το Εργοδικό Θεώρημα του von Neumann το οποίο και αποδεικνύουμε με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους. Στο Κεφάλαιο 3 μελετάμε την κλάση των τελεστών εργοδικού μέσου σε έναν χώρο Banach. Το Θεώρημα του Lorch διαβεβαιώνει ότι αν ένας χώρος είναι αυτοπαθής, τότε κάθε τελεστής με φραγμένες δυνάμεις είναι τελεστής εργοδικού μέσου. Το αντίστροφο ερώτημα παραμένει ανοικτό. Παρουσιάζουμε την πρόοδο που έχει επιτευχθεί μέχρι στιγμής προς αυτή την κατεύθυνση και η οποία προέκυψε από τη δουλειά των Zaharopol και Emelyanov σε Banach lattices και των Fonf, Lin και Wojtaszczyk σε χώρους με βάση Schauder.

The subject of this thesis is the study of the connection between the mean ergodicity and reflexivity of a Banach space. Let X be a Banach space and T a linear and bounded operator from X to X. T is called mean ergodic if for all x in X the sequence of the Cesaro sums of the orbit of x through T is convergent. There is a strong connection between the convergence of this sequence and whether X is reflexive or not. In Chapter 1 we briefly mention the preliminaries that we need. In Chapter 2 we describe the questions that ergodic theory initially tried to answer, so as to find out how they were reformulated into a more abstract operator theoretic framework. The most important results of this chapter include a theorem by Liouville which asserts that the solutions of every Hamiltonian system is measure preserving and von Neumann's Mean Ergodic Theorem for which we present four different proofs. In Chapter 3 we describe the connection between mean ergodicity and reflexivity in a Banach space. A theorem by Lorch asserts that if a Banach space is reflexive, then every power bounded operator is mean ergodic. The converse problem is still open. We present the main results concerning the converse direction, namely the work of Zaharopol and Emelyanof on Banach lattices and that of Fonf, Lin and Wojtaszczyk on spaces with a Schauder basis.