Ιδιάζοντα γραφήματα και ενέργεια ιδιαζόντων γραφημάτων

Abstract

Ο χαρακτηρισμός όλων των γραφημάτων με πολλαπλότητα μηδενός η(G)>0 τέθηκε πρώτα από τους L. Collatz και U. Sinogowitz το 1957. Καθώς το πρόβλημα που αφορά τη σχέση ανάμεσα στη δομή ενός γραφήματος και την πολλαπλότητα μηδενός αυτού είναι επιλύσιμο μόνο για κάποιες περιπτώσεις γραφημάτων, όπως για παράδειγμα τα δένδρα και κάποια πολυμερή γραφήματα, το πρόβλημα χαρακτηρισμού των ιδιαζόντων γραφημάτων συνεχίζει να απασχολεί μέχρι σήμερα έντονα τη βιβλιογραφία. Στη συγκεκριμένη εργασία εξετάζουμε γραφήματα με μέγιστη πολλαπλότητα μηδενός, M(G), χρησιμοποιώντας τον αριθμό επιβολής μηδέν, Z(G), μια παράμετρο που αποτελεί ένα άνω φράγμα για την πολλαπλότητα μηδενός ενός γραφήματος. Προσδιορίζουμε συγκεκριμένα γραφήματα για τα οποία ισχύει η ισότητα M(G)=Z(G), όπως είναι το γράφημα Gray, το Tutte-Coxeter γράφημα, αλλά και τo knight γράφημα. Επιπλέον, παρέχουμε κάποιες εναλλακτικές αποδείξεις για ακρότατα γραφήματα στηρίζοντας αυτές τις αποδείξεις στη χρήση του αριθμού επιβολής μηδέν. Στο δεύτερο κεφάλαιο αυτής της διατριβής εξετάζουμε τον πυρήνα ενός γραφήματος, δηλαδή το υπογράφημα εκείνο που συνδέεται με το μη-μηδενικό μέρος του ιδιοδιανύσματος που αντιστοιχεί στη μηδενική ιδιοτιμή. Με τη βοήθεια μίας άλλης παραμέτρου, της μηδενικής έκτασης μίας κορυφής u, zu(G) = Z(G) - Z(G- u), παρέχουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να είναι ένα γράφημα γράφημα-πυρήνας και βρίσκουμε πότε μία κορυφή είναι core-forbidden. Eξετάζουμε τον αριθμό επιβολής μηδέν των singular configuration γραφήματων σε σχέση με τον πυρήνα τους και τέλος, παρέχουμε μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα γράφημα extremal singular. Στο τρίτο κεφάλαιο της παρούσας διατριβής ερευνούμε την ενέργεια των ιδιαζόντων γραφημάτων. Η ενέργεια γραφήματων είναι μία έννοια που τέθηκε πρώτη φορά από τον I. Gutman το 1978 και προέρχεται από τη θεωρητική Χημεία. Ως ενέργεια γραφήματος ορίζεται το άθροισμα των απολύτων τιμών των ιδιοτιμών του πίνακα γειτνίασης του γραφήματος. Σε αυτή την εργασία αποδεικνύουμε ότι η αλλαγή στην ενέργεια ενός ιδιάζοντος γραφήματος, G, με την αφαίρεση μίας κορυφής του, u, εξαρτάται από την έκταση μηδενός της κορυφής αυτής. Με αυτό τον τρόπο, βελτιώνουμε το άνω φράγμα για το παραγόμενο υπογράφημα G-u. Επιπλέον, παρέχουμε ένα άνω φράγμα για πλήρη πολυμέρη γραφήματα. Στην περίπτωση των minimal configuration γραφήματων παρέχουμε κάποια νέα φράγματα και συνδέουμε την ενέργεια του γραφήματος με την ενέργεια του πυρήνα. Ακόμη, βρίσκουμε ένα άνω φράγμα για την μικρότερη σε απόλυτη τιμή ιδιοτιμή ενός minimal configuration γραφήματος. Είναι γνωστό ότι η ενέργεια ενός γραφήματος μπορεί να αυξηθεί, να μειωθεί ή να παραμείνει ίδια μετά την αφαίρεση μίας πλευράς. Στην παρούσα διατριβή μελετούμε συγκεκριμένα γραφήματα των οποίων η ενέργεια αυξάνεται μετά την αφαίρεση μίας πλευράς, όπως είναι το πλήρες πολυμερές γράφημα και ο υπερκύβος με άρτιο αριθμό κορυφών.

In this thesis we study the nullity and the energy of singular graphs. The problem of characterizing all graphs with nullity η(G)>0, was first set by L. Collatz και U. Sinogowitz in 1957. Since the problem of finding a relation between the structure of a graph and its nullity has been partially solved for some classes of graphs, such as trees and r-partite graphs, the characterization of singular graphs remains an open problem. In the first chapter of this thesis we study graphs with maximum nullity, M(G), by taking into consideration the zero forcing number, Z(G), a parameter that upper bounds the maximum nullity of a graph. More specifically, we determine certain graphs for which the equality M(G)= Z(G) holds, such as the Gray graph, the Tutte-Coxeter graph, and the knight's graph. We also provide some alternative proofs for graphs that are extremal with regard to their nullity, by using the zero forcing parameter. In the second chapter of this thesis we study the core of a graph, which is the subgraph of a singular graph related to the non-zero part of the graph's kernel eigenvector. With the aid of another zero forcing parameter, the zero spread of a vertex u, zu(G) = Z(G) - Z(G- u), we pro-vide necessary and sufficient conditions for a singular graph to be a core graph and determine when a vertex is core-forbidden. In the case of singular configuration graphs, we study the zero forcing number in relation to the graph's core. Finally, we establish a sufficient and necessary condition for a graph to be extremal singular (in relation to the zero forcing number of the graph). The third chapter of this thesis focuses on the energy of singular graphs. The energy of a graph, E(G), was first defined by I. Gutman as the sum of the absolute values of the eigenvalues of the graph's adjacency matrix A(G). In this thesis we prove that the change in the energy of a singular graph by deleting a vertex, u, is related to the type of vertices of the graph. Furthermore, we improve some upper bounds for the energy of the induced subgraph, G-u, which is obtained by deleting vertex u. We also obtain some new bounds for the energy of the minimal configuration graphs and provide an upper bound for the smallest eigenvalue in absolute value of a minimal configuration graph. Finally, we obtain an upper bound for the energy of a complete multipartite graph and study certain graphs that increase their energy when an edge is deleted, such as the complete multipartite graphs and the hypercube of even order.