A Study on Geodetic Boundary Value Problems in Ellipsoidal Geometry

Abstract

Στην παρούσα διατριβή, ειδικά γεωδαιτικά προβλήματα αντιμετωπίζονται ως προβλήματα συνοριακών τιμών. Το γεωδαισιακό πρόβλημα, το πεδίο βαρύτητας που παράγεται από ένα ομογενές ελλειψοειδές και το γραμμικό δεσμευμένο αλτιμετρικό-βαρυτημετρικό πρόβλημα μελετώνται πλήρως σε ελλειψοειδή γεωμετρία. Η μελέτη δεν περιορίζεται στο διαξονικό ελλειψοειδές (πεπλατυσμένο σφαιροειδές), που είναι το κλασικό μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται στη γεωδαισία, αλλά επεκτείνεται και στο τριαξονικό ελλειψοειδές. Το ουσιαστικό θέμα στην ανάλυση των παραπάνω προβλημάτων είναι η έκφρασή τους στο κατάλληλο ελλειψοειδές σύστημα συντεταγμένων.

Το ελλειψοειδές σύστημα συντεταγμένων περιγράφεται λεπτομερώς. Για μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ ελλειψοειδών και Καρτεσιανών συντεταγμένων εισάγονται δύο παραλλαγές των ελλειψοειδών συντεταγμένων. Στις δύο αυτές παραλλαγές παρουσιάζεται ο μετασχηματισμός μεταξύ ελλειψοειδών και Καρτεσιανών συντεταγμένων στο τριαξονικό ελλειψοειδές. Επίσης, το στοιχειώδες μήκος και η εξίσωση Laplace εκφράζονται στις συντεταγμένες αυτές. Ο κλασικός μετασχηματισμός μεταξύ ελλειψοειδών και Καρτεσιανών συντεταγμένων στο διαξονικό ελλειψοειδές παρουσιάζεται ως μια εκφυλισμένη περίπτωση.

Το γεωδαισιακό πρόβλημα στο τριαξονικό ελλειψοειδές επιλύεται ως ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών χρησιμοποιώντας το λογισμό μεταβολών. Το συνοριακό πρόβλημα τυποποιείται σύμφωνα με την εξίσωση Euler-Lagrange και περιλαμβάνει την επίλυση μίας μη γραμμικής δεύτερης τάξης συνήθη διαφορική εξίσωση που υπόκεινται σε συνθήκες τύπου Dirichlet. Ακολούθως, το πρόβλημα ανάγεται σε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών με συνθήκες Dirichlet και Neumann. Η συνθήκη Neumann προσδιορίζεται με επαναληπτική διαδικασία επιλύοντας, με αριθμητική ολοκλήρωση, ένα σύστημα τεσσάρων πρώτης τάξης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Η τελευταία επανάληψη παράγει και τη λύση του συνοριακού προβλήματος. Από τη λύση προσδιορίζονται, σε κάθε σημείο κατά μήκος της γεωδαισιακής, οι ελλειψοειδείς συντεταγμένες και η γωνία μεταξύ της γραμμής σταθερού ελλειψοειδούς μήκους και της γεωδαισιακής. Επίσης, προσδιορίζεται η σταθερά του Liouville και υπολογίζεται, με αριθμητική ολοκλήρωση, η γεωδαισιακή απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Για να αποδειχθεί η ισχύς της μεθόδου δίνονται αριθμητικά παραδείγματα. Το γεωδαισιακό πρόβλημα συνοριακών τιμών και η λύση του στο διαξονικό ελλειψοειδές λαμβάνονται ως μια εκφυλισμένη περίπτωση. Στην περίπτωση αυτή, χρησιμοποιώντας μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης Euler-Lagrange, η εξίσωση Clairaut επαληθεύεται και η σταθερά του Clairaut προσδιορίζεται με ακρίβεια. Επίσης, οι αριθμητικοί έλεγχοι επικυρώνονται από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων με τη μέθοδο του Vincenty.

Το εξωτερικό δυναμικό βαρύτητας και η παραγωγός του, που παράγονται από ένα ομογενές τριαξονικό ελλειψοειδές, παρουσιάζονται σε ελλειψοειδείς συντεταγμένες. Αρχικά, αναφέρονται κάποιες εκφράσεις που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση του εξωτερικού ελκτικού δυναμικού. Ακολούθως, το μαθηματικό πλαίσιο δημιουργείται σύμφωνα με τις ελλειψοειδείς συντεταγμένες. Στην περίπτωση αυτή, το ελκτικό δυναμικό περιλαμβάνει ελλειπτικά ολοκληρώματα που υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση. Από το δυναμικό βαρύτητας λαμβάνονται διαδοχικά οι συνιστώσες του διανύσματος της βαρύτητας. Οι νέες εκφράσεις ισχύουν σε ένα τριαξονικό και διαξονικό ελλειψοειδές. Επίσης, το πεδίο βαρύτητας που παράγεται από ένα ομογενές πεπλατυσμένο σφαιροειδές λαμβάνεται και ως μια εκφυλισμένη περίπτωση. Προκειμένου να επικυρωθεί η ισχύς των γενικών εκφράσεων δίνονται αριθμητικά παραδείγματα.

Το γραμμικό δεσμευμένο αλτιμετρικό-βαρυτημετρικό πρόβλημα συνοριακών τιμών αναλύεται ως προς την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της λύσης του. Στις μέρες μας είναι δυνατό να προσδιοριστούν με μεγάλη ακρίβεια, μέσω δορυφορικών τεχνολογιών, σημεία στη φυσική γήινη επιφάνεια. Συνεπώς, το πρόβλημα ανάγεται στον προσδιορισμό του διαταρακτικού δυναμικού σε ένα μη φραγμένο χωρίο που αναπαριστά το εξωτερικό της Γης. Προκειμένου να σχηματιστούν ρεαλιστικές συνοριακές συνθήκες, επιβάλλεται μια συνθήκη Dirichlet στις θάλασσες και μια συνθήκη πλάγιας παραγώγου στη στεριά. Κατόπιν, χρησιμοποιούνται μαθηματικές μέθοδοι εντός του πλαισίου της συναρτησιακής ανάλυσης για την αντιμετώπιση του υπό μελέτη προβλήματος. Ειδικότερα, χρησιμοποιείται το θεώρημα του Stampacchia στην απόφαση για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της ασθενούς λύσης του προβλήματος σε ένα σταθμικό χώρο Sobolev. Τέλος, επιβεβαιώνεται ότι η συνθήκη ισχύος του θεωρήματος έχει γεωμετρική ερμηνεία.

Καταλήγοντας, παρουσιάζεται μια μέθοδος επίλυσης του προβλήματος ενοποίησης των υψομετρικών αναφορών. Πρόκειται ουσιαστικά για ένα πρόβλημα προσδιορισμού των διαφορών δυναμικού μεταξύ των διαφόρων υψομετρικών αναφορών. Οι τοπικές υψομετρικές αναφορές διαφέρουν κυρίως λόγω των διαφορετικών τρόπων ορισμού τους, των μεθόδων υλοποίησης και του γεγονότος ότι στηρίζονται σε τοπικά δεδομένα. Οι κύριες προσεγγίσεις προσδιορισμού διαφορών δυναμικού περιγράφονται και συγκρίνονται, λαμβάνοντας υπόψη τις τρέχουσες εξελίξεις της θεωρίας των γεωδαιτικών προβλημάτων συνοριακών τιμών. Αυτό μας επιτρέπει να επιλέξουμε το δεσμευμένο μεικτό πρόβλημα συνοριακών τιμών ως το πιο κατάλληλο για την εκτίμηση του σχεδόν γεωειδούς, που είναι ανεξάρτητο από κάθε τοπική υψομετρική αναφορά και μπορεί να θεωρηθεί ως παγκόσμια υψομετρική αναφορά. Η βασική μέθοδος ενοποίησης των αναφορών στηρίζεται στη σύγκριση των διαφορών δυναμικού καθεμιάς τοπικής υψομετρικής αναφοράς με την αποκαλούμενη παγκόσμια υψομετρική αναφορά, δηλαδή το σχεδόν γεωειδές.

In this thesis, special geodetic problems are treated as boundary value problems. The geodesic problem, the gravity field due to a homogeneous ellipsoid and the linear fixed altimetry-gravimetry problem are thoroughly studied in ellipsoidal geometry. The study is not limited on a biaxial ellipsoid (oblate spheroid), which is the well-known mathematical model used in geodesy, but is extended on a triaxial ellipsoid. The key issue in the current analysis is the expression of the above problems in the suitable ellipsoidal coordinate system.

The ellipsoidal coordinate system is described in some detail. For a one-to-one correspondence between ellipsoidal and Cartesian coordinates two variants of ellipsoidal coordinates are introduced. The transformation between ellipsoidal and Cartesian coordinates on a triaxial ellipsoid is presented in these two variants. Also, the element of distance and Laplace’s equation are expressed in these coordinates. The classical transformation between ellipsoidal and Cartesian coordinates on a biaxial ellipsoid is presented as a degenerate case.

The geodesic problem on a triaxial ellipsoid is solved as a boundary value problem, using the calculus of variations. The boundary value problem is formulated by means of the Euler-Lagrange equation and consists of solving a non-linear second order ordinary differential equation, subject to the Dirichlet conditions. Subsequently, this problem is reduced to an initial value problem with Dirichlet and Neumann conditions. The Neumann condition is determined iteratively by solving a system of four first-order ordinary differential equations with numerical integration. The last iteration yields the solution of the boundary value problem. From the solution, the ellipsoidal coordinates and the angle between the line of constant longitude and the geodesic, at any point along the geodesic, are determined. Also, the constant in Liouville’s equation is determined and the geodesic distance between the two points, as an integral, is computed by numerical integration. To demonstrate the validity of the method, numerical examples are given. The geodesic boundary value problem and its solution on a biaxial ellipsoid are obtained as a degenerate case. In this case, using a special case of the Euler-Lagrange equation, the Clairaut equation is verified and the Clairaut constant is precisely determined. Also, the numerical tests are validated by comparison to Vincenty’s method.

The exterior gravity potential and its derivative induced by a homogeneous triaxial ellipsoid are presented. Some expressions, which are used for the representation of the exterior gravitational potential, are mentioned. Subsequently, the mathematical framework using ellipsoidal coordinates is derived. In this case, the gravitational potential includes elliptic integrals which can be computed by a numerical integration method. From the gravity potential, the gravity vector components are subsequently obtained. The novel general expressions can be applied to a triaxial and a biaxial ellipsoid. Also, the gravity field due to a homogeneous oblate spheroid is obtained as a degenerate case. Numerical examples are given in order to demonstrate the validity of the general expressions.

The linear fixed altimetry-gravimetry boundary value problem is analyzed with respect to the existence and uniqueness of the solution. Nowadays, it is possible to determine very precisely points on the physical surface of the Earth by three-dimensional satellite positioning and the problem is to determine the disturbing potential in an unbounded domain representing the exterior of the Earth. In order to establish realistic boundary conditions, a Dirichlet condition is imposed at seas and an oblique derivative condition on land. Then, mathematical methods are used, within the frame of functional analysis, for attacking the problem under consideration. Specifically, the Stampacchia theorem is used to decide upon the existence and uniqueness of the weak solution of the problem in a weighted Sobolev space. Finally, it is confirmed that the condition of validity for such a theorem has a geometrical interpretation.

Lastly, a method for solving the problem of height datum unification is presented. This is essentially a problem of determining the potential differences among different height datums. The local height datums vary mainly due to different ways of their definition, methods of realization and the fact that they are based on local data. The main approaches for determining potential differences are outlined and compared, taking into account the recent developments in the theory of geodetic boundary value problems (BVPs). This allowed us to select the fixed mixed BVP as the most suitable type for the estimation of the quasigeoid, which has the advantage that is independent of any local height datums and it can be regarded as a global height datum. The basic method of datum unification relies on the comparison of the potential differences of each local height datum with the so-determined global height datum (i.e. the quasigeoid).