Η εξίσωση του Pell

Abstract

Ο σκοπός της διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη και η παρουσίαση των λύσεων της εξίσωσης του Pell. Γίνεται μία ιστορική αναδρομή και μία προσπάθεια μοντελοποίησης της λύσης μέσα από ήδη υπάρχουσες λύσειςτου μαθηματικού κόσμου.Η εξίσωση χ^2-ny^2=1 είναι μία διοφαντική εξίσωση η οποία έχει ως σκοπό την εύρεση μίας κλειστής αναλυτικής λύσης όταν το n εν είναι τέλειο τετράγωνο. Παρουσιάζεται η λύση του Βραχμαγκούπτα για τα ινδικά μαθηματικά,εμφανίζεται η δουλεία του Fermat και προτείνονται σύγχρονοι αλγοριθμικοί τρόποι επίλυσης με υπολογιστικά-μαθηματικά πακέτα.Δίνεται ιδιαίτερη βάση στον LMM αλγόριθμο και στο σύστημα αναγωγών Lagrange.Tέλος μέσω του Matlab δημιουργείται κώδικας που διερευνά τις λύσεις της εξίσωσης.

The purpose of this thesis is the study and the presentation of the solutions of Pell's equation. A chronology takes place and a try of modelling the solution with respect to existing solutions that emply the world of mathematics.Equation x^2-ny^2=1 is a diophantine equation that has occupied the mathimatical community as a challenge for the discovery of a close , analytical solution when the number n is not a perfect square.The significance of the solytion is summarized for the indian mathematics combined with extensions and variations of the specific equation focusing on Brahmagypta's method. There is a presentation of Fermat's work for this equation. There is a proposition of modern algorithmic workarounds with computer math packages. This thesis gives also emphasis to the LMM aalgorithm and to registration system of Lagrange. In the end we use Matlab to create code for the discovery of the solytions of the equation.