Συμβολή στην οικονομική εφαρμογή της συνεχούς συζυγούς μεθόδου για χρονικά μη-μόνιμα προβλήματα ροής

Abstract

Στον αντίστροφο σχεδιασμό ή τη βελτιστοποίηση αεροδυναμικών μορφών για χρονικά μη-μόνιμα πεδία ροής, για την επίλυση των συζυγών εξισώσεων απαιτείται να είναι διαθέσιμα όλα τα στιγμιότυπα του πεδίου ροής. Άρα, φαίνεται να απαιτείται η πλήρης αποθήκευση των στιγμιότυπων του πεδίου ροής, εξαιτίας της αντίθετης χρονο-προέλασης της επίλυσης των συζυγών εξισώσεων. Όμως, η πλήρης αποθήκευση είναι συχνά ασύμφορη ή, ακόμη, και μη-εφικτή εξαιτίας του μεγάλου αποθηκευτικού χώρου που απαιτείται. Σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι η παρουσίαση και η συγκριτική αξιολόγηση μεθόδων, που στοχεύουν στην οικονομική εφαρμογή της συνεχούς συζυγούς μεθόδου σε χρονικά μη-μόνιμα προβλήματα, ώστε να μην χρειάζεται η πλήρης αποθήκευση των στιγμιότυπων. Μια από τις μεθόδους που παρουσιάζονται είναι η επιλεκτική κατανομή δεικτών μνήμης (checkpointing), με την οποία επιτυγχάνεται εξοικονόμηση αποθηκευτικού χώρου, αποθηκεύοντας μόνο μερικά στιγμιότυπα του πεδίου ροής. Από τα αποθηκευμένα στιγμιότυπα επαναϋπολογίζονται τα υπόλοιπα, όταν αυτά χρειαστούν για την επίλυση των συζυγών εξισώσεων. Το τίμημα της μεθόδου checkpointing είναι η αύξηση του υπολογιστικού χρόνου εξαιτίας των επαναϋπολογισμών. Όμως, τα στιγμιότυπα επιλέγονται με κατάλληλο αλγόριθμο έτσι ώστε να είναι βέλτιστα, με την έννοια ότι ελαχιστοποιούν τους επαναϋπολογισμούς που θα χρειαστούν. Στην άλλη μέθοδο που εδώ παρουσιάζεται, δεν αποθηκεύεται κανένα στιγμιότυπο του πεδίου ροής αλλά δημιουργείται, την ώρα που επιλύονται οι εξισώσεις ροής, ένα μοντέλο. Το μοντέλο αυτό χρησιμοποιείται κατά την επίλυση των συζυγών εξισώσεων για να προσεγγίζει τις λύσεις του πεδίου ροής. Σε αυτήν τη διπλωματική εργασία, η προσέγγιση των λύσεων του πεδίου ροής γίνεται με το ανάπτυγμα Fourier. Για την εφαρμογή του αναπτύγματος Fourier απαιτείται ο υπολογισμός και η αποθήκευση των συντελεστών του, αυτό γίνεται κατά την διάρκεια της επίλυσης των εξισώσεων του πεδίου ροής για όλο το χρονικό διάστημα. Σε μια τέτοια μέθοδο, που δεν είναι και η μοναδική, αυτό που αξίζει είναι να βρίσκεται η «χρυσή τομή» ανάμεσα στην οικονομία σε αποθήκευση που επιτυγχάνεται και στο σφάλμα λόγω της χρήσης του μοντέλου (δηλαδή μιας προσέγγισης). Για τις ανάγκες αυτής της διπλωματικής εργασίας προσαρμόσθηκε ως προς τις υπό μελέτη μεθόδους, προϋπάρχοντας κώδικας ο οποίος διαχειρίζεται τους επιλύτες Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής για το πρόβλημα του αντίστροφου σχεδιασμού αγωγού με μοντέλο ψευδο-μονοδιάστατης ροής. Για την χρονική επίλυση του πεδίου ροής έγινε μετατροπή του αντίστοιχου επιλύτη ώστε αντί της χρήσης του ‘διττού χρονικά βήματος’, να χρησιμοποιείται η μέθοδος Runge-Kutta 3ης τάξης ακρίβειας. Επίσης, βασιζόμενο στο ανάπτυγμα Fourier αναπτύχθηκε το ομώνυμο προσεγγιστικό μοντέλο, του οποίου έγινε η εφαρμογή του σε αποτελέσματα διδιάστατου προβλήματος που αναλύθηκε με κώδικα προσομοίωσης χρονικά μη-μόνιμων ροών στην ΜΠΥΡ&Β/Ε.Μ.Π..

In the inverse design or optimization of aerodynamic shapes, for time-dependent flow fields, when solving the adjoint equations, the snapshots of the flow solutions must be available. A typical solution to this problem is the full storage of the computed flow field snapshots, to be used during the backward-in-time marching of the solution of the adjoint equations. However, the full storage is impractical and sometimes not applicable due to large memory requirements. The aim of this diploma thesis is the presentation and evaluation of methods which have as a major target the memory-cost-efficient use of the continuous adjoint method, so that the storage of the total snapshots is not required. One of the methods presented is the dynamic checkpointing, with which storage space saving is achieved by storing a portion of the total snapshots of the flow field. The snapshots that have not been stored are recalculated from the stored snapshots during the time-marching of the adjoint equations. The checkpointing method increases the computational time because of the recalculations. However, with given storage, checkpointing is optimal in the sense that re-computations are minimal. The other proposed method suggests that snapshots of the flow field are not stored and a model, to be used during the solution of the adjoint equations, is built. Here, a Fourier transformation is used as model. For the application of the Fourier transformation, the calculation of Fourier coefficients and their storage is required, during the solution of the flow field equations for the entire time period. Associated with this method is the approximation error which is introduced in the result of the optimization problem. For the purposes of this diploma thesis, an existing code was. This code is based on the CFD solvers of the PCOpt/NTUA, in order to solve a duct inverse design problem with a quasi-1D flow model. For the temporal resolution of the flow field, the corresponding solver was transformed so that instead of a ‘dual stepping time’, a 3rd order Runge-Kutta method could be used. In the second method, the model was developed based on the Fourier formulation and it was adjusted to the results of 2D flow field problem, which was resolved using a unsteady flows simulation code of the PCOpt/NTUA.