Διατεταγμένοι Γραμμικοί Χώροι και Επέκταση Θετικών Τελεστών

Abstract

Η παρούσα εργασία δίνει έμφαση στη θεωρία των Διατεταγμένων Γραμμικών Χώρων. Γίνεται μία διεξοδική μελέτη και παρουσίαση αλγεβρικών ιδιοτήτων των χώρων αυτών, που είναι πολύ σημαντικές και διαδραμματίζουν μείζονα ρόλο στην μελέτη προβλημάτων της Συναρτησιακής Ανάλυσης, όπου οι χώροι που συναντάμε είναι τις περισσότερες φορές εφοδιασμένοι με κάποια σχέση διάταξης. Επίσης, μελετώνται θετικοί τελεστές και θεωρήματα θετικής επέκτασης τελεστών. Στο Κεφάλαιο-1, ορίζεται η έννοια του διατεταγμένου γραμμικού χώρου και δίνονται κάποια σύνολα μαθηματικών αντικειμένων των οποίων η δομή αντιπροσωπεύεται από την έννοια του γραμμικού χώρου. Η έννοια αυτή είναι μία σημαντική έννοια στα Μαθηματικά, που είναι χρήσιμη στην Ανάλυση και σε άλλες επιστήμες. Στην συνέχεια, μελετώνται ιδιότητες και έννοιες που σχετίζονται με την διάταξη, όπως η έννοια του κώνου, του οξύ κώνου, του διατεταγμένου διαστήματος, της κυρτής θήκης υποσυνόλου του χώρου, της διατακτικής μονάδας, ενώ αποδεικνύονται κάποιες πολύ σημαντικές προτάσεις και δίνονται αντίστοιχα παραδείγματα. Επίσης, περιγράφονται κάποιοι τρόποι κατασκευής διατεταγμένων γραμμικών χώρων από ήδη υπάρχοντες, όπως μέσω καρτεσιανών γινομένων, ή ευθέων αθροισμάτων διατεταγμένων γραμμικών χώρων. Στη συνέχεια, εισάγεται η έννοια των Αρχιμήδειων γραμμικών χώρων, δίνονται παραδείγματα τέτοιων χώρων και αποδεικνύονται σημαντικές προτάσεις πάνω στη θεωρία τους. Πολύ σημαντικοί είναι οι γραμμικοί σύνδεσμοι (χώροι Riesz) των οποίων η μελέτη επικεντρώνεται στην ενότητα 1.4, όπου μελετώνται αναλυτικά οι ιδιότητές τους και ορίζεται η έννοια των Dedekind πλήρων χώρων Riesz, των γραμμικών υποσυνδέσμων και των συνδέσμων-υποχώρων. Σε όλη την έκταση της ενότητας δίνονται πολλά παραδείγματα, ώστε να γίνει όσο το δυνατόν περισσότερο κατανοητή η χρησιμότητα των γραμμικών συνδέσμων στις εφαρμογές. Στο Κεφάλαιο-2 μελετώνται κάποια κυρτά υποσύνολα ενός οξύ κώνου, που είναι ειδικής μορφής, και ονομάζονται βάσεις του κώνου. Η θεωρία των βάσεων των κώνων είναι σημαντικό στοιχείο της γεωμετρίας των κώνων και έχει πολλές εφαρμογές στη χρηματοοικονομική θεωρία. Ειδικότερα, σε μια οικονομία κάθε βάση του κώνου κατανάλωσης ορίζει ένα σύνολο προϋπολογισμού, και αντιστρόφως κάθε σύνολο προϋπολογισμού ορίζει μία βάση του κώνου κατανάλωσης. Το Κεφάλαιο-3 αποτελεί ένα εισαγωγικό κεφάλαιο στη θεωρία τελεστών, όπου υπενθυμίζονται βασικά αποτελέσματα σχετικά με τους συνεχείς (ή φραγμένους) τελεστές μεταξύ χώρων με νόρμα, ορίζεται ο χώρος B(X,Y) των φραγμένων τελεστών μεταξύ των χώρων με νόρμα X, Y και ορίζεται η νόρμα τελεστή σε αυτόν το χώρο. Στην ενότητα 3.4 παρουσιάζεται η βασική θεωρία σχετικά με τους συζυγείς τελεστές και αποδεικνύονται κάποια βασικά θεωρήματά τους. Το Κεφάλαιο-4 είναι αφιερωμένο στην επέκταση θετικών τελεστών. Αφού δοθούν οι απαραίτητοι ορισμοί, διατυπώνεται το θεώρημα επέκτασης των Hahn-Banach σε διατεταγμένους γραμμικούς χώρους, το οποίο διαδραμματίζει μείζων ρόλο στην Ανάλυση, και ειδικότερα στη θεωρία Διατεταγμένων Χώρων. Στη συνέχεια, γίνεται εφαρμογή του θεωρήματος Hahn-Banach στους χώρους Riesz και ειδικεύονται τα αποτελέσματα για θετικά γραμμικά συναρτησιακά. Στο Κεφάλαιο-5 μελετώνται οι τύποι των Riesz-Kantorovich. Ο τύπος των Riesz-Kantorovich προσδιορίζει το supremum δύο τελεστών, που ορίζονται μεταξύ δύο διατεταγμένων γραμμικών χώρων. Μελετώνται κάποιες συνθήκες οι οποίες είναι επαρκείς για την ισχύ του και οι οποίες μας δίνουν την δυνατότητα να πάρουμε επεκτάσεις γνωστών αποτελεσμάτων που αφορούν ιδιότητες των συνδέσμων, αλλά και απορρέουν από την Ιδιότητα Διάσπασης για τους χώρους των διατακτικά φραγμένων τελεστών μεταξύ δύο γραμμικών χώρων. Εκτός από την μεγάλη χρησιμότητα του θεωρήματος των Riesz-Kantorovich στην Ανάλυση, το θεώρημα αυτό έχει σημαντικές εφαρμογές στην Μαθηματική Οικονομία, και ειδικότερα στη θεωρία Γενικής Ισορροπίας. Υπάρχουν αρκετά papers που ασχολούνται με ανοικτά προβλήματα πάνω στη θεωρία των διατεταγμένων γραμμικών χώρων και των γραμμικών συνδέσμων και η θεωρία τους αποτελεί το αντικείμενο εκτεταμένης έρευνας.

This thesis deals with the theory of Ordered Linear spaces. We study and present algebraic properties of these spaces, which are very important and they are useful to the study of many problems of Functional Analysis on ordered spaces. Furthermore, positive operators and theorems of their positive extention are also presented. In Chapter-1, we start with ordered linear spaces accompanied by examples of mathematical objects whose structure is represented by the notion of ordered linear space. Having presented notions and properties related with the order relation of the space, we study Archimedean linear spaces and Riesz spaces (linear lattices) by giving many examples and applications before presenting Dedekind complete Riesz spaces, linear sublattices and lattice-subspaces. In Chapter-2, a study of some convex subsets of a cone, which are of a special form and are called bases of cones, are presented. The theory of bases of cones is strongly related with the geometry of the whole cone and has important applications in the geometry of Banach spaces. Also in economics (general equilibrium theory) the consumption sets are cones of the commodity space and the budget sets are bases of the consumption set. In Chapter-3, we present some results of bounded linear operators between normed spaces and their adjoints. In Chapter-4, the extention of positive operators is presented. A basic result for the extention of positive operators is the version of the Hahn-Banach theorem for operators between ordered Banach spaces which we also present in this chapter. Final Chapter-5 deals with the space of order bounded linear operators. We present necessary conditions in order to be a lattice and we give the Riesz-Kantorovich formula for the lattice operations.