A global local approach for handling local non-linearities

Abstract

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method) είναι ο βασικός πυλώνας σε θέματα υπολογιστικής μηχανικής τις τελευταίες δεκαετίες. Ωθούμενη απο τις εξελίξεις στην τεχνολογία των υπολογιστών, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων αναπτύσεται με μεγάλη ταχύτητα τόσο σε ακαδημαικό όσο και σε εργασιακό επίπεδο. Από την πληθώρα τεχνολογιών, σχετικών με τα πεπερασμένα στοιχεία, που έχουν αναπτυχθεί, η παρούσα διπλωματική εργασία επαφίεται σε θέματα υποφορέων και πολυεπίπεδης ανάλυσης. Οι διάφορες τεχνικές υποφορέων είναι ισχυρότατα εργαλεία σε θέματα υπολογιστικής μηχανικής. Χωρίζοντας ένα μεγάλο πρόβλημα σε μικρότερα, οι τεχνικές αυτές καταφέρνουν να κρατούν το υπολογιστικό κόστος σε διαχειρίσιμα επίπεδα. Παρόλα αυτα η επιτυχία τους εξαρτάται από τον τρόπο σύνδεσης αυτών των υποπροβλημάτων. Από την άλλη, σε περιπτώσεις όπου συναντάμε χωρικές και χρονικές ανομοιότητες χρησιμοποιούνται τεχνικές πολυεπίπεδης ανάλυσης. Πολύ συχνα κατα την εφαρμογή της μεθόδου ερχόμαστε αντιμέτωποι με προβλήματα στα οποία ολόκληρος ο φορέας συμπεριφέρεται γραμμικά-ελαστικά με εξαίρεση μια πολύ μικρή περιοχή όπου η συμπεριφορά του είναι μη γραμμική. Συνήθως, σε ένα τέτοιο πρόβλημα χωρίζουμε την χρονοιστορία φόρτισης σε βηματικά επιβαλλόμενα φορτία και λύνουμε μη γραμμικά για το κάθε φορτίο. Αν όμως το πρόβλημα είναι πολύ μεγάλο, αυτή η προσέγγιση είναι ασύμφορη απο άποψη υπολογιστικού κόστους. Στην παρούσα διπλωματική εργασία προτείνεται μια μέθοδος για την επίλυση τέτοιων φαινομένων, όπου μη-γραμμικά φαινόμενα εμφανίζονται σε μια μικρή περιοχή του φορέα ενώ ο υπόλοιπος παραμένει γραμμικός ελαστικός. Για το σκοπό αυτό δύο μοντέλα πεπερασμένων στοιχείων δημιουργούνται. Ένα καθολικό που προσομοιάζει ολόκληρο το φοέα με γραμμικές αλαστικές ιδιότητες, και ένα τοπικό μη-γραμμικό που αντικαθιστά τον καθολικό στη μη γραμμική περιοχή. Με μια επαναληπτική διαδικασία επιτυγχάνεται η ακριβης επίλυση του προβλήματος. Σε αυτήν την μεθοδολογία καλούμαστε να υπολογίσουμε την μηχανική στιβαρότητα μιας περιοχής, η οποία περιγράφεται από το συμπλήρωμα του Schur του μητρώου δυσκαμψίας της περιοχής πάνω στο σύνορο. Αυτή η στιβαρότητα μπορεί να υπολογιστεί απευθείας με στατική συμπύκνωση ή εναλλακτικά να προσεγγιστει με κάποιον πιο εύκολο τρόπο, καθώς ο απευθείας υπολογισμός έχει μεγάλο κόστος για μεγάλα προβλήματα. Αυτή η προσέγγιση επιτυχγάνεται συνδιάζοντας τεχνικές μικρο-κλίμακας (λωρίδες στοιχείων) και μεγα-κλίμακας (τεχνικές ομογενοποίησης). Επίσης, αυτή η εναλλακτική είναι μη παρεμβατικη ως προς το πρόγραμμα πεπερασμένων που έχει τα δύο μοντέλα, που σημαίνει ότι τα μοντέλα δεν αλλάζουν και οι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν από έτοιμα προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων. Διάφοροι τρόποι ανταλλαγής δεδομένων μεταξύ των μοντέλων παρουσιάζονται καθώς και μία μέθοδος για την επίλυση περιπτώσεων όπου τα πλέγματα των δύο μοντέλων είναι διαφορετικά ακόμα και στο σύνορο. Τέλος, οι ιδιότητες των μεθόδων μελετώνται με δύο παραδείγματα. Η σημασία της μεθόδου είναι ότι, εκτός από τοπικές μη γραμμικότητες μπορει να χρησιμοποιηθει και για την εισαγωγή γεωμετρικών ατελειών, διαφορετικών πλεγμάτων ή καταστατικών νόμων που λείπουν από το καθολικό μοντέλο. Το τοπικό μοντέλο μπορεί απίσης να αναλυθεί σε τελείως διαφορετικό λογισμικό, το οποίο μπορεί να περιέχει δυνατότητες που δεν περιέχει το λογισμικό του καθολικού μοντέλου. ¨ετσι, η μέθοδος αυτή μπορεί να αποτελέσει ένα ισχυρό εργαλείο για την επικοινωνία διαφορετικών τύπων πεπερασμένων στοιχείων και για την ακριβέστερη ανάλυση παλιότερων μοντέλων ή φορέων που έχουν υποστει τροποποιήσεις.

The Finite Element Method (FEM) has been the dominant technique in computational mechanics in the past decades. Assisted by the advances in computers, FEM is developing with great speed in both academia and industry. Among the plethora of the methods that have been developed, the current thesis puts it’s focus on a subject that is related to substructuring and multiscale analysis. Substructuring and domain decomposition methods are very powerful analysis techniques in the field of structural mechanics. By splitting a large problem into several smaller subproblems, these techniques can help keeping computational costs at reasonable levels. However, their efficiency depends entirely on how well the subproblems are bridged together. On the other hand, wherever large disparities in spatial and temporal scales are encountered the simulation efforts are dominated by multiple scales. This is where multiscale analysis is used. In the aircraft industry, it is a common task to perform a finite element analysis on a complex structure that mostly evolves in a linear elastic way, but exhibits confined plasticity (or other nonlinear phenomena) in a small critical region. In most FE software, such an analysis is usually carried out by dividing the loading history into several load increments, and by solving nonlinear equilibrium equations at each increment, using Newton’s method or one of its variants. When the problem size is too large or the loading history is too complex, this approach can lead to unaffordable computational costs. This thesis proposes a computational strategy to solve such structural problems, where non-linear phenomena occur within a small area, while the rest of the structure retains a linear elastic behaviour. Two finite element models are defined: a global linear model of the whole structure, and a local non-linear ’sub-model’ meant to replace the global model in the nonlinear area. An iterative coupling technique is then used to perform this replacement in an exact way. In this technique we are called to compute the ’mechanical impedance’ of a region that can be described by the Schur complement of its stiffness matrix on its boundary. This quantity can be computed from a static condensation (which basically consists in computing it straightforwardly) or approximated in a second non-intrusive way, as the first way is usually very expensive on large problems. This approximation of the Schur complement of a subdomain’s stiffness matrix is obtained by combining local (i.e. element strips) and global (i.e. homogenized) contributions. Furthermore, this variation is non-intrusive, which means the model data sets are never modified and the computations can be carried out with standard finite element software. Several ways of exchanging data between the models are discussed and a simple solution is introduced for the handling of non-conforming meshes. Finally, the properties of the methods are investgated on two examples. The significance of this method is that except from local non-linearities it can be used to introduce geometric details, mesh refinements or specific constitutive laws that are absent from the global model. The local model can also be analysed using a separate piece of code, which may contain features that are not implemented in the global Finite Element solver. In that way, it can be a powerful tool for the connection of different types of elements, for more detailed analyses of existing models and for reanalysis after model modifications.