Αριθμητικές Μέθοδοι για την Εύρεση Ιδιοτιμών Πίνακα

Abstract

Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η μελέτη μεθόδων της Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας οι οποίες υπολογίζουν τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα τυχαίων πινάκων. Αρχικά γίνεται αναφορά σε βασικούς ορισμούς και θεωρήματα της Γραμμικής Άλγεβρας, αναφέρεται επίσης η παραγοντοποίηση Schur, η 2-φασική προσέγγιση ιδιοτιμών και η απλοποίηση ενός πίνακα σε μορφή Hessenberg μέσω μιας ακολουθίας ορθοκανονικών μετασχηματισμών Householder. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι μέθοδοι των Δυνάμεων, της Αντίστροφης Επανάληψης, του Πηλίκου Rayleigh, ο "Απλός" και ο "Πρακτικός" Αλγόριθμος QR, η Μέθοδος των Ταυτοχρόνων Επαναλήψεων και οι αλγόριθμοι Jacobi, Διχοτόμησης και Διαίρει και Βασίλευε. Για τις Έξι πρώτες μεθόδους που αναφέρθηκαν δίνονται αριθμητικά παραδείγματα για την κατασκευή των οποίων δημιουργήθηκαν προγράμματα στο περιβάλλον της Matlab.

The purpose of this thesis is to study methods of Numerical Linear Algebra which calculate the eigenvalues and the eigenvectors of arbitary matrices. Initially referring to basic definitions and theorems of Linear Algebra, also mentions the Schur decomposition, the two-phase approach and a reduction of a full matrix to Hessenberg form by a sequence of unitary similarity transformations.We then present the Power Method, the Inverse Iteration,the Rayleigh Quotient iteration, the "Pure" and the "Practical" QR Algorithm, the Simultaneous Iteration and the algorithms of Jacobi, Bisection and the Divide and Conquer algorithm. For the first six methods, are given numerical examples for the construction of which created programs in Matlab.