Two-time response excitation theory for non-linear stochastic dynamical systems

Abstract

Στo πλαίσιo της πιθανοθεωρητικής μοντελοποίησης οι παράμετροι/συναρτήσεις που ενέχουν αβεβαιότητα μοντελοποιούνται ως τυχαίες. Γενικά, ο χαρακτηρισμός των τυχαίων συναρτήσεων είναι μια δύσκολη εργασία καθώς αφορά τη γνώση της ιεραρχίας των κατανομών πιθανότητας όλων των τάξεων ή, ισοδυνάμως, τη γνώση του χαρακτηριστικού συναρτησιακού. Όταν οι αρχικές συνθήκες ή/και η τυχαία είσοδος/διέγερση (εξωτερική ή/και παραμετρική) δυναμικών συστημάτων μοντελοποιούνται από τυχαίες παραμέτρους/συναρτήσεις, τότε η έξοδος/απόκριση του συστήματος θα είναι επίσης μια τυχαία συνάρτηση. Στην περίπτωση που η δυναμική του συστήματος μπορεί να μοντελοποιηθεί με τη χρήση διαφορικών εξισώσεων, τότε οι εξισώσεις αυτές ονομάζονται τυχαίες διαφορικές εξισώσεις (ΤΔΕ). Η δυσκολία του υπολογισμού των πιθανοθεωρητικών χαρακτηριστικών της απόκρισης μειώνεται δραστικά όταν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση συσχέτισης της στοχαστικής διέγερσης μπορεί να μοντελοποιηθεί από μια συνάρτηση δέλτα. Εντούτοις, αυτή η υπόθεση δεν είναι ευλογοφανής όταν ο χρόνος συσχέτισης της διέγερσης είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με τον χρόνο ηρεμίας του συστήματος, όπως συμβαίνει σε μακροσκοπικά δυναμικά συστήματα π.χ. συστήματα που διεγείρονται από θαλάσσια κύματα, φορτία ανέμου, ή σεισμούς. Σε αυτή την περίπτωση η διέγερση μπορεί να μοντελοποιηθεί ρεαλιστικά από τυχαίες συναρτήσεις με λείες συναρτήσεις συσχέτισης (ομαλή διέγερση). Οι τυχαίες διαφορικές εξισώσεις με ομαλή διέγερση (γνωστές και ως γενικευμένες εξισώσεις Langevin) εμπεριέχουν αυξημένη πολυπλοκότητα λόγω του ότι, προκειμένου να χαρακτηρίσει κανείς πιθανοθεωρητικά την απόκριση, πρέπει να θεωρήσει απειροδιάστατες διαφορικές εξισώσεις. Παρά το γεγονός ότι η γενική περίπτωση τυχαίων διεγέρσεων με λείες συναρτήσεις συσχέτισης παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον στη μηχανική και στις εφαρμοσμένες επιστήμες, οι υπάρχουσες μεθοδολογίες αποτυγχάνουν να την αντιμετωπίσουν ικανοποιητικά. Σε απάντηση αυτής της κατάστασης η θεωρία απόκρισης-διέγερσης (ΑΔ), μια νέα μέθοδος για τον πιθανοθεωρητικό χαρακτηρισμό κάθε μη-γραμμικού συστήματος υπό κάθε τύπου τυχαία διέγερση με λεία συνάρτηση συσχέτισης, εισήχθη πρόσφατα από τους Αθανασούλη & Σαψή (2006) και Σαψή και Αθανασούλη (2008). Η θεωρία ΑΔ, προτείνει την από κοινού αντιμετώπιση της πιθανοθεωρητικής δομής της απόκρισης και της διέγερσης, αφήνοντας χώρο για τον καθορισμό της στοχαστικής τους εξάρτησης κατά την επίλυση του προβλήματος. Οι Αθανασσούλης και Σαψής χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του χαρακτηριστικού συναρτησιακού έδειξαν ότι, προβάλλοντας κατάλληλα την απειροδιάστατη εξίσωση, είναι δυνατό να παραχθούν εξισώσεις για την εξέλιξη της από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) της απόκρισης και της διέγερσης. H παραχθείσα εξίσωση εξέλιξης της από κοινού σππ απόκρισης και διέγερσης (σππΑΔ) παρουσιάζει ιδιαιτερότητες καθώς περιέχει δυο χρόνους (έναν για την διέγερση, s και έναν για την απόκριση, t), και μια μερική παραγώγο μόνο ως προς έναν από αυτούς (χρόνο απόκρισης), ενώ, μετά την παραγώγιση, πρέπει να λαμβάνεται το όριο του χρόνου διέγερσης s όταν αυτός τείνει στο χρόνο απόκρισης t. Δηλαδή η σππΑΔ συμπεριλαμβάνει την παράγωγο «μισού χρόνου». Αυτή η ιδιαιτερότητα προκάλεσε βασικά ερωτήματα σχετικά με το αν η εξίσωση είναι καλά ορισμένη αλλά και ως προς τη μέθοδο αριθμητικής της επίλυσης. Κατά τη διάρκεια εκπόνησης της παρούσας διατριβής έγινε φανερό ότι η σππΑΔ των Αθανασούλη και Σαψή δεν είναι κλειστή και άρα δεν μπορεί να προσδιορίσει κατά μοναδικό τρόπο την από κοινού σππΑΔ. Το ίδιο εύρημα διατυπώθηκε πρόσφατα από τους Venturi et al (2012). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι όταν λαμβάνεται το όριο «μισού χρόνου» τα μη-τοπικά (στο χρόνο) χαρακτηριστικά του προβλήματος μερικώς χάνονται. Η παρούσα εργασία συνεχίζει την μελέτη της θεωρίας ΑΔ, με σκοπό να ξεκαθαρίσει κάποια ασαφή σημεία και να την αναπτύξει περαιτέρω αποσκοπώντας στην εφαρμογή αποτελεσματικών αλγορίθμων για αριθμητικές λύσεις. Στο πρώτο μέρος της εργασίας αυτής, η θεωρία ΑΔ, που εισήχθη από τους Αθανασούλη και Σαψή, επανεξετάζεται και γενικεύεται σε μη-γραμμικά συστήματα δεύτερης τάξεως. Η εξίσωση εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ για μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα υπό λεία στοχαστική διέγερση παράγεται ξανά με τη χρήση της μεθόδου του χαρακτηριστικού συναρτησιακού. Για να επαληθευτεί η ισχύς των παραχθεισών εξισώσεων, οι τελευταίες χρησιμοποιούνται για την παραγωγή εκ νέου του άπειρου συστήματος οριακών εξισώσεων ροπών δυο χρόνων, οι οποίες μπορούν να παραχθούν και απευθείας από το δυναμικό σύστημα. Τέλος, η εξίσωση εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ συγκεκριμενοποιείται για την περίπτωση του προβλήματος της κίνησης διατοιχισμού πλοίου (ship roll ploblem). Στη συνέχεια ένα ευρέως μελετημένο, απλό πρόβλημα εξετάζεται στα πλαίσια της θεωρίας ΑΔ. Συγκεκριμένα αναπτύσσονται οι εξισώσεις ροπών ΑΔ δύο χρόνων για ένα γραμμικό βαθμωτό δυναμικό σύστημα υπό ομαλή διέγερση. Αυτές οι εξισώσεις λύνονται αναλυτικά, ενώ αποτελέσματα λαμβάνονται για διαφορετικές περιπτώσεις στοχαστικής διέγερσης. Για κανονική (Gaussian) διέγερση, λαμβάνουμε μια πλήρη αναλυτική λύση του υπό εξέταση προβλήματος, τόσο στην μεταβατική όσο και στην κατάσταση στατιστικής ισορροπίας σε μεγάλους χρόνους. Η αναλυτική λύση αυτού του απλού προβλήματος χρησιμοποιείται στη συνέχεια για να επαληθεύσει/αποσαφηνίσει την εξίσωση εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ για γραμμικές ΤΔΕ, και να αποδείξει ότι αυτή δέχεται περισσότερες από μία λύσεις. Επομένως, αναδεικνύεται η ανάγκη συμπλήρωσης της εξίσωσης εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ με επιπλέον συνθήκες οι οποίες είναι ικανές να παρέχουν επιπλέον πληροφορία για τη δομή συσχέτισης της απόκρισης και της διέγερσης του συστήματος. Μια από τις θεμελιώδεις συμβολές της παρούσας διατριβής αποτελεί και η ανάπτυξη και εφαρμογή ενός αποτελεσματικού σχήματος που οδηγεί σε κλειστές λύσεις της εξίσωσης εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ. Τα ευρήματα από τη μελέτη της γραμμικής/Gaussian περίπτωσης γενικεύονται στη μη-γραμμική/μη-Gaussian περίπτωση αξιοποιώντας, επιπλέον, ευρήματα που προέκυψαν από τη μελέτη αποτελεσμάτων προσομοιώσεων Monte Carlo (MC) οι οποίες πραγματοποιήθηκαν από τον Ζαχαρία Γ. Καπελώνη. Συγκεκριμένα, σε μεγάλους χρόνους η από κοινού σππΑΔ τείνει να συγκεντρώνεται γύρω από την καμπύλη ισορροπίας των ντετερμινιστικών προβλημάτων που πραγματοποιούνται στο χώρο ΑΔ. Λαμβάνοντας υπόψη τα ευρήματα αυτά, παράγονται νέες τοπικές (στο χώρο απόκρισης-διέγερσης), από κοινού εξισώσεις ροπών ΑΔ δύο χρόνων, χρησιμοποιώντας τοπικές γραμματικοποιήσεις/κανονικοποιήσεις (linearizations/Gaussianizations) γύρω από την καμπύλη ισορροπίας του μη-γραμμικού βαθμωτού συστήματος σε μεγάλους χρόνους. Οι τοπικές εξισώσεις επιλύονται αναλυτικά για διάφορες περιπτώσεις. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται ικανοποιητικά με αποτελέσματα από προσομοιώσεις ΜC και επομένως μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να σχηματίσουν ένα νέο σχήμα που συμπληρώνει, a priori, τη μη-γραμμική εξίσωση εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ. Η πληροφορία για την τοπική δομή συσχέτισης της απόκρισης και της διέγερσης που λαμβάνεται αναλυτικά μέσω των νέων εξισώσεων συντίθεται με την εξίσωσης εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ με τη χρήση κατάλληλης αναπαράστασης αποτελούμενης από Gaussian Kernels, η οποία μπορεί να «φέρει» την επιπλέον πληροφορία στην αρχική εξίσωση. Η αναδιαμορφωμένη εξίσωση εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ μαζί με τις νέες συμπληρωματικές εξισώσεις επιλύονται αριθμητικά μέσω ενός σχήματος επίλυσης τύπου Galerkin. Mε τον τρόπο αυτό εισάγεται η δομή της συγκεκριμένης ΤΔΕ στους συντελεστές Galerkin τόσο άμεσα, μέσω της εξάρτησης τους από την εξίσωση του προς επίλυση δυναμικού συστήματος, όσο και έμμεσα, μέσω των παραμέτρων των Kernel που περιέχουν πληροφορίες από την οικογένεια των τοπικών εξισώσεων. Οι συντελεστές του σχήματος Galerkin, έχουν τη μορφή γινομένων πολυωνύμων με δυσδιάστατες Gaussian κατανομές και μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά, ενώ τελικά το πρόβλημα λύνεται ως πρόβλημα ελαχιστοποίησης υπό περιορισμούς. Αυτό το σχήμα Galerkin χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των από κοινού πιθανοθεωρητικών χαρακτηριστικών ΑΔ ενός βαθμωτού ταλαντωτή υπό ασυμπωτικά στάσιμη, ομαλή Gaussian ή μη-Gaussian (κυβική Gaussian) διέγερση. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με επιτυχία με αποτελέσματα προσομοιώσεων που παρήχθησαν μέσω MC προσομοιώσεων για το ίδιο πρόβλημα. Η επιλογή του κατάλληλου υπολογιστικού πεδίου για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ σε μεγάλους χρόνους, έδωσε το έναυσμα για την ανάπτυξη μιας νέας μεθοδολογίας για τον σχηματισμό και την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων ροπών δυο χρόνων. Αυτές οι εξισώσεις μπορούν να εφαρμοστούν σε κάθε μη-γραμμικό σύστημα με πολυωνυμικές μη-γραμμικότητες, που διεγείρεται από ομαλές Gaussian ή (πολυωνυμικά) μη-Gaussian τυχαίες διαδικασίες. Συγκεκριμένα, εξισώσεις ροπών για τη μέση τιμή της απόκρισης mx(t) τη συνάρτηση συνδιακύμανσης ΑΔ δύο χρόνων Cxy(t,s) τη συνάρτηση αυτοδιακύμανσης ΑΔ δυο χρόνων Cxx(t,s) και τη συνάρτηση αυτοδιακύμανσης στη διαγώνιο των χρόνων Cxx(t,t) παράγονται απευθείας από το δυναμικό σύστημα. Η υπόθεση ότι οι τυχαίες συναρτήσεις είναι Gaussian (Gaussian closure condition) τίθεται στη συνέχεια προκειμένου να εξαλειφθούν οι ροπές ανώτερης τάξης από τις εξισώσεις ροπών δυο χρόνων. Μετά την εφαρμογή της υπόθεσης αυτής, θεωρώντας το χρόνο s ως παράμετρο, οι εξισώσεις που παίρνουμε μπορούν να θεωρηθούν ως γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ως προς το χρόνο t, έχοντας παραμέτρους που εξαρτώνται από τις ροπές στη διαγώνιο των χρόνων. Η εξίσωση για την Cxy(t,s) χρησιμοποιείται για να εκφράσει την Cxy(t,t) ως έναν μη-γραμμικό, μη-τοπικό στο χρόνο (αιτιατό) τελεστή πάνω σε όλη την ιστορία των mx(u) και Cxx(u,u), όπου u ανήκει στο [t0,t]. Χρησιμοποιώντας τον τελεστή για το Cxy(t,t) λαμβάνεται ένα κλειστό, μη-γραμμικό αιτιατό σύστημα από εξισώσεις εξέλιξης για τις mx(t), Cxx(t,t). Μετά την επίλυση του αιτιατού συστήματος μπορούν να υπολογιστούν οι ροπές δυο χρόνων για όλα τα ζεύγη (t,s). Παρουσιάζονται αποτελέσματα από την επίλυση των εξισώσεων ροπών ΑΔ δύο χρόνων στην κατάσταση στατιστικής ισορροπίας, σε μεγάλους χρόνους. Επίσης, αποσκοπώντας στην επέκταση της μεθοδολογίας σε βαθμωτούς ταλαντωτές με δυο σημεία ευστάθειας (bi-stable), σε μεγάλους χρόνους, παρουσιάζονται κάποιες πρώτες ιδέες για ένα σχήμα στο οποίο τίθεται, εναλλακτικά, η υπόθεση ότι οι τυχαίες συναρτήσεις είναι μια υπέρθεση από δυο Gaussian τυχαίες συναρτήσεις (bi-Gaussian closure condition). Στην περίπτωση συστημάτων με ένα σημείο ευστάθειας τα αποτελέσματα που λαμβάνονται συγκρίνονται ικανοποιητικά με αποτελέσματα από προσομοιώσεις MC. Στην περίπτωση συστημάτων με δύο σημεία ευστάθειας το υπό συζήτηση σχήμα δίνει αποδεκτά αποτελέσματα για τις ροπές στην διαγώνιο των χρόνων και για τη συνάρτηση διασυσχέτισης ΑΔ δύο χρόνων ενώ, υπό την παρούσα μορφή του σχήματος, οι συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης δεν προσεγγίζονται επιτυχώς.

In the context of probabilistic modeling uncertain parameters/functions are quantified as random. In general, the characterization of random functions is a difficult task involving the knowledge of the hierarchy of the probability distributions of all orders or, equivalently, the knowledge of the characteristic functional. If random parameters/functions enter either as random initial conditions or as input/excitation (external and/or parametric) to dynamical systems, then the systems output/response will also be a random function. In case that the dynamics can be modeled by means of differential equations these equations are called Random Differential Equations (RDEs). The difficulty of calculating the probabilistic characteristics of the response is drastically reduced when we assume that the stochastic excitation is delta correlated. However, this assumption is not plausible when the correlation time of the excitation is of the same order of magnitude as the system’s relaxation time, as is the case for macroscopic dynamical systems, e.g. for systems excited by sea waves, wind loads, or earthquakes. In this case the excitation can be realistically modelled by smoothly correlated (colored) random functions. RDEs with colored excitation (also known as generalized Langevin equations) involve an increased amount of complexity due to the fact that in order to obtain system’s response probabilistic structure one has to consider infinite dimensional differential equations. Although the general case of smoothly-correlated excitation is the most interesting case for many applications in engineering and applied sciences, existing methodologies fail to treat it in a satisfactory way. In response to this situation, the response-excitation (RE) theory, a new method for the probabilistic characterization of any non-linear system with any type of smoothly-correlated random excitation, has been recently introduced by Athanassoulis & Sapsis (2006) and Sapsis &Athanassoulis (2008). The RE theory, proposes the joint treatment of the probabilistic structure of the response and the excitation, leaving the space for their stochastic dependence to be determined during the solution of the problem. Athanassoulis and Sapsis used the characteristic functional approach to derive an equation for the joint RE characteristic functional and showed that, by appropriately projecting this infinite dimensional equation, it is possible to obtain equations for the evolution of the joint response-excitation probability density function (REPDF). The derived joint REPDF evolution equation is a peculiar one, involving two times (one for the excitation, s and one for the response, t), and partial derivatives only with respect to one of them (response time), whereas, after the differentiation, the limit of the excitation time s as this approaches the response time t should be taken. I.e., the REPDF evolution equation includes the “half-time” derivative. This peculiarity gives rise to fundamental questions regarding both the well-posedness and the methods of its numerical solution. While working on this thesis, it became evident that the joint REPDF evolution equation of Athanassoulis and Sapsis in not a closed equation, and thus cannot provide a unique REPDF. The same finding has also been stated recently by Venturi et al (2012). This is due to the fact that when the half time limit is considered the non-local (in time) characteristics of the problem are partially lost. The present work continues the study of the RE theory, aiming at the clarification of various obscure points, and its further development towards the implementation of efficient algorithms for numerical solutions. In the first part of this thesis, the RE theory, introduced by Athanassoulis and Sapsis, is reviewed and generalized to second-order nonlinear systems. The joint REPDF evolution equation for non-linear dynamical systems under smoothly-correlated stochastic excitation is re-derived, using the characteristic functional approach. To verify the validity of the obtained equations, the latter have been used to re-derive the infinite system of the limiting two-time moment equations, which are also obtained directly from the dynamical system. Finally the joint REPDF evolution equation is specified to the case of the ship roll problem. Subsequently, a well-studied, simple problem is considered in the context of the RE theory. More precisely, the two-time RE moment equations are developed for a linear scalar dynamical system under colored stochastic excitation. These equations are solved analytically and results are obtained for different stochastic input functions. For Gaussian excitation, a complete analytical solution of the studied problem, both in the transient and in the long-time statistical equilibrium state, is produced. The analytical solution of this simple problem is used in order to verify/clarify the REPDF evolution equation for linear RDEs, and prove that it can have multiple solutions. Thus, the need for an a priori closure of the REPDF evolution equation, providing additional information about the RE correlation structure, becomes evident. The formulation and implementation of an efficient closure of this type is one of the fundamental contributions of this Thesis. The findings from the study of the linear/Gaussian case are generalized for the non-linear/non-Gaussian case, drawing, also, on evidence gained looking into Monte Carlo (MC) simulations results, performed by Z.G. Kapelonis. In fact, in the long-time statistical equilibrium state the joint REPDF tends to concentrate around the equilibrium curve of deterministic problems realized on the RE-phase space. Reclaiming these findings, new, auxiliary, local conditions are developed in the RE-phase space, by the use of local linearizations/Gaussianizations around the equilibrium curve of the non-linear scalar dynamical system in the long-time. These, analytically solvable, local conditions, can successfully approximate the local RE correlation structure as is verified by comparisons with results obtained by MC simulations and, therefore, can be used to form a new a priori closure scheme for the non-linear REPDF evolution equation. The analytically obtained local closure information for the RE correlation structure is synthesized in the REPDF evolution equation by the use of an appropriate representation of the two-time joint REPDF, consisting of a superposition of Gaussian Kernels. The reformulated REPDF evolution equation, together with the new local closure conditions, is numerically solved using a Galerkin scheme. This allows for the specific structure of the considered RDE to enter in the Galerkin coefficients both explicitly thought their dependence from the equations of the dynamical system to be solved and implicitly through the Kernel coefficients which contain information from the family of the localized problems. The Galerkin coefficients, having the form of products of polynomials with bi-dimensional Gaussian densities are analytically calculated, and the problem is solved as a constraint minimization problem. This Galerkin scheme has been used for the determination of the joint RE probabilistic characteristics of a half-oscillator, subject to asymptotically stationary, colored, Gaussian or non-Gaussian (cubic Gaussian) excitation. The obtained results are satisfactorily compared with solutions obtained from MC simulations for the same problem.

The selection of the appropriate computational domain for the numerical solution of the joint REPDF evolution equation in the long-time, initiated the development of a new methodology for the formulation and solution of a system of two-time RE moment equations. These equations can apply to any non-linear system with arbitrary polynomial non-linearities, excited by colored Gaussian or polynomially non-Gaussian processes. More precisely, moment equations for the response mean value mx(t) the two-time RE cross-covariance Cxy(t,s) two-time response auto-covariance Cxx(t,s) and time-diagonal response auto-covariance Cxx(t,t) are derived directly from the dynamical system. A Gaussian closure condition is, then, applied in order to eliminate the higher order moments from the two-time moment equations. Following the Gaussian closure, considering s as a parameter, the derived equations can be considered as linear ODEs with respect to , having coefficients depended on the time-diagonal moments. The equation for Cxy(t,s) is used to express Cxy(t,t) as a non-linear, non-local in time (causal) operator on the whole history of mx(u) and Cxx(u,u), where u in [t0,t]. Using the obtained operator for Cxy(t,t), a closed, non-linear, causal system of evolution equations for mx(t), Cxx(t,t) is obtained. After solving this causal system, the two-time moments can be calculated for all (t,s) pairs as well. Results obtained by the direct solution of the two-time RE moment equations in the long-time, statistical equilibrium limit are presented. Moreover, a first idea on a bi-Gaussian moment closure scheme that could extend the presented methodology to bi-stable half oscillators in the long-time limit is discussed. Obtained results are compared with MC simulations satisfactorily in the mono-stable case. In the bi-stable case the discussed bi-Gaussian moment closure scheme gives acceptable, preliminary, results only for the time-diagonal moments and the two-time RE cross-correlation, whereas, in its present form, fails to approximate the two-time response auto-correlation.