Βέλτιστος Σχεδιασμός Κατασκευών με Χρήση Θεωρίας Παιγνίων

Abstract

Η παρούσα μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία αποτελεί μια προσπάθεια εισαγωγής της θεωρίας παιγνίων σε προβλήματα της επιστήμης του δομοστατικού πολιτικού μηχανικού και πιο συγκεκριμένα της βελτιστοποίησης του σχεδιασμού των κατασκευών. Αντικείμενο του βέλτιστου σχεδιασμού των κατασκευών είναι να αποκτήσει μια κατασκευή τον καλύτερο συνδυασμό των επιθυμητών χαρα¬κτηριστικών της, δηλαδή ασφάλειας, λειτουργικότητας και οικονομικότητας. Μια τέτοια προσπάθεια απαιτεί φυσικά την καλή κρίση του μηχανικού, καθώς και την κατανόηση του προβλήματος. Η θεωρία παιγνίων παρέχει χρήσιμες συμβουλές αναφορικά με την ανάλυση καταστάσεων και λήψη αποφάσεων. Συνεπώς, μπορεί, αν χρησιμοποιηθεί κατάλληλα, να αποτελέσει ένα πολύτιμο εργαλείο στα χέρια του μηχανικού, τόσο στο βέλτιστο σχεδιασμό των κατασκευών, όσο και σε άλλες εφαρμογές που απαιτούν καλή κρίση. Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται μια εισαγωγή στη θεωρία παιγνίων, ούτως ώστε ο αναγνώστης να εξοικειωθεί με το αντικείμενό της. Πρώτα εξηγούνται οι βασικές έννοιές της, όπως για παράδειγμα η ωφέλεια, που αποτελεί ένα μέγεθος που ποσοτικοποιεί την ικανοποίηση που προσδίδει σε κάθε άτομο ένα γεγονός. Έπειτα, ο αναγνώστης εξοικειώνεται με την Ισορροπία Nash, που αποτελεί ένα σύνολο στρατηγικών που αποτελούν ταυτόχρονα καλύτερη απάντηση η καθεμία στις υπόλοιπες. Εν συνεχεία παρουσιάζονται ορισμένοι κλάδοι, όπως η θεωρία δημοπρασιών και τα συστήματα ψηφοφορίας, στη μελέτη των οποίων η θεωρία παιγνίων έχει γνωρίσει μεγάλη άνθιση και παίζει καθοριστικό ρόλο. Το κεφάλαιο αυτό είναι πλήρως απαλλαγμένο από μαθηματικούς υπολογισμούς και έχει αποκλειστικό στόχο να εξοικειώσει με τις βασικές έννοιες της θεωρίας παιγνίων. Το Κεφάλαιο 3 είναι περισσότερο προσανατολισμένο σε μαθηματικούς υπολογισμούς. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι τρόποι με τους οποίους είναι δυνατή η εύρεση Ισορροπίας Nash. Οι κυριότερες μέθοδοι που αναφέρονται είναι η διαδοχική διαγραφή κυριαρχούμενων στρατηγικών και η μέθοδος της πίσω επαγωγής, όσον αφορά σε Ισορροπίες Nash με χρήση καθαρών στρατηγικών, ενώ αναφέρεται και η μετατροπή σε ισοδύναμο πρόβλημα γραμμικής συμπληρωματικότητας, όσον αφορά σε Ισορροπίες Nash με χρήση μικτών στρατηγικών. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται το πρόβλημα του βέλτιστου σχεδιασμού των κατασκευών που επιλύει η παρούσα εργασία, και εισάγεται η προτεινόμενη μεθοδολογία, η Μέθοδος Μεγιστοποίησης Ελάχιστης Ωφέλειας. Η μέθοδος αυτή παρέχει τη δυνατότητα ευρύτερης επιλογής αντικειμενικής συνάρτησης, ξεφεύγοντας από το κλασικό πρόβλημα του οικονομικότερου δυνατού σχεδιασμού, ενώ παράλληλα επιτρέπει τη χρήση περιορισμών που αφορούν οποιαδήποτε πιθανή μεταβλητή σχεδιασμού, συμπεριλαμβανομένων και των οικονομικών πόρων. Σύμφωνα με τη Μέθοδο Μεγιστοποίησης Ελάχιστης Ωφέλειας, το διακριτό πρόβλημα βέλτιστου σχεδιασμού των κατασκευών προσομοιώνεται ως παίγνιο, με παίκτες τον αμυνόμενο, που υπερασπίζεται το φορέα, διαχειριζόμενος την δυσκαμψία των υλικών του και τον επιτιθέμενο, ο οποίος διαλέγει τον τρόπο που θα επιτεθεί στο φορέα, επιλέγοντας ανάμεσα σε κάποια προκαθορισμένα σενάρια φόρτισης που περιγράφουν οι οικείοι κανονισμοί ή και άλλες πρόσθετες φορτίσεις. Παράλληλα, η μέθοδος αντιστοιχεί ωφέλεια στους δύο παίκτες ανάλογα με τα αποτελέσματα (σε όρους τάσεων, μετακινήσεων και χρηματικών δαπανών) που προκύπτουν από τις κινήσεις τους. Το παίγνιο προσομοιώνεται με τέτοιο τρόπο, ώστε να είναι πλήρως ανταγωνιστικό, παρεμποδίζοντας κάθε δυνατότητα συνεργασίας μεταξύ των δύο παικτών. Εν συνεχεία, το παίγνιο λύνεται με τη χρήση της θεωρίας παιγνίων και τη μέθοδο της πίσω-επαγωγής. Με αυτό τον τρόπο εντοπίζονται ταυτόχρονα ο βέλτιστος σχεδιασμός της κατασκευής, καθώς και η κρίσιμη φόρτιση που θα δεχτεί στην Ισορροπία Nash. Το Κεφάλαιο 5 είναι αφιερωμένο στους ευρετικούς αλγορίθμους. Η εγγενής δυσκολία της μεθοδολογίας έγκειται στην συνδυαστική έκρηξη όλων των πιθανών παραλλαγών που καθορίζουν το χώρο των λύσεων, η πλήρης αντιμετώπιση των οποίων απαιτεί μεγάλο υπολογιστικό χρόνο και μνήμη υπολογιστή, σε σημείο που, παρά τη θεωρητική της ισχύ, η χρήση της να καθίσταται ασύμφορη. Η αδυναμία αυτή οφείλεται στο γεγονός πως, ακόμα και για μικρού μεγέθους προβλήματα, οι πιθανές στρατηγικές που είναι διαθέσιμες στον αμυνόμενο είναι μεν πεπερασμένες, αλλά έχουν πολύ μεγάλο πλήθος. Η θεωρία παιγνίων προϋποθέτει τη σειριακή εξέταση κάθε στρατηγικής, γεγονός που καθιστά ασύμφορη τη μέθοδο στην κλασική της μορφή. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιήθηκαν τρεις ευρετικοί αλγόριθμοι (heuristics), οι οποίοι έχουν στόχο να εντοπίσουν τη βέλτιστη λύση εξετάζοντας κατάλληλα επιλεγόμενο τμήμα του χώρου των λύσεων σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα, εκχωρώντας την βεβαιότητα της εύρεσης της μαθηματικά βέλτιστης λύσης, διατηρώντας όμως καλές προϋποθέσεις εύρεσης καλών λύσεων στη περιοχή της θεωρητικά βέλτιστης λύσης. Ένας εκ των αλγορίθμων που χρησιμοποιήθηκε αφορά στην Προσομοιωμένη Ανόπτηση, (simulated annealing), ενώ οι υπόλοιποι δύο αναπτύχθηκαν στα πλαίσια της παρούσας εργασίας. Συνδυάζοντας τη Μέθοδο Μεγιστοποίησης Ελάχιστης Ωφέλειας (maximization of minimum utility) και τους ευρετικούς αλγορίθμους, προκύπτει ένα ισχυρό εργαλείο διακριτής βελτιστοποίησης, ικανό για επίλυση πλήθους προβλημάτων. Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζεται ένα πλήθος αριθμητικών εφαρμογών που αφορούν προβλήματα διαστασιολόγησης, τοπολογίας, σχήματος και ελαχιστοποίηση μετακίνησης με οικονομικούς περιορισμούς. Η εγκυρότητα της μεθόδου επαληθεύεται επιλύοντας ήδη γνωστά προβλήματα από τη βιβλιογραφία. Σε κάθε περίπτωση, τα αποτελέσματα της μεθόδου ταυτίζονται με τα αποτελέσματα της βιβλιογραφίας. Στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζονται τα συμπεράσματα της εργασίας και προτείνονται ιδέες για μελλοντική έρευνα. Τόσο η Μέθοδος Μεγιστοποίησης Ελάχιστης Ωφέλειας όσο και οι ευρετικοί αλγόριθμοι που χρησιμοποιήθηκαν για την επιτάχυνση της μεθόδου έχουν λειτουργήσει ικανοποιητικά. Η προτεινόμενη μεθοδολογία μπορεί να λύσει κάθε πρόβλημα βελτιστοποίησης, υπό την προϋπόθεση πως είναι διαθέσιμος ο αντίστοιχος επιλύτης. Ο φορέας προς βελτιστοποίηση επιτρέπεται να είναι δικτύωμα, πλαίσιο ή οποιαδήποτε άλλης μορφής. Παράλληλα, η προτεινόμενη μεθοδολογία καθιστά δυνατή τη μελέτη πλήθους σεναρίων φόρτισης. Βέβαια, οι ευρετικοί αλγόριθμοι χρίζουν περαιτέρω βελτίωσης, γεγονός που αναμένεται να μειώσει ακόμα περισσότερο το χρόνο εκτέλεσης.

The present M. Sc. Thesis is an attempt to implement Game Theory in civil engineering problems and especially to structural optimization. The aim of structural optimization is to supply a given structure with the optimal combination of its desired attributes, namely safety, serviceability and cost effectiveness by varying a number of design variables. Of course, such a task requires good engineering judgment as well as solid understanding of the problem. Game theory provides with useful advice regarding the features of analysis and decision making. It is therefore possible for game theory, if used in an appropriate way, to become a useful tool in the hands of an engineer, both in structural optimization and in other applications that require calculated decisions. The remaining work is organized as follows: In Chapter 2 an introduction to game theory is made, so that the readers can familiarize themselves with its objective. At first the most basic concepts are explained, such as utility, which measures the pleasure that one enjoys because of a certain event, something that will be exploited for the purposes of this thesis. The reader is also familiarized with the concept of Nash Equilibrium, a set of strategies, each one of them simultaneously being a best response to the rest. Furthermore, some other important branches are presented, in the analysis of which game theory has played a decisive role, such as theory of auctions and voting systems. This chapter is absolutely free from mathematical calculations and its exclusive aim is to get the reader accustomed to the basic concepts of game theory. Chapter 3 is more mathematically oriented. In this chapter, the various ways to discover a Nash Equilibrium are discussed. The main methods are the iterative deletion of dominated alternatives and the backward induction, as far as pure strategy equilibria are concerned, and transformation to an equivalent linear complementarity problem, when searching for mixed strategy equilibria. In Chapter 4 the problem addressed in the present thesis is discussed that regards structural optimization. Also, the suggested methodology is introduced, named Maximization of Minimum Utility Method. This method allows a wider choice of objective function, surpassing the limits of the classic problem of the most economic design, while at the same time allowing the usage of limitations regarding any design variable, funding included. According to the Maximization of Minimum Utility Method, the discrete problem of structural optimization is simulated as a game, played by the defending player, who defends the structure, managing the stiffness of the materials and cross sections at hand, and the attacking player, who decides upon the way to attack the structure, by choosing among some predefined load combinations, usually described by code regulations. Furthermore, the method assigns utility to both players, depending on the results (in terms of stresses, displacements and funding) of their combined decisions. The game is simulated as a zero sum game, in order to make it fully competitive, hindering any possibility of cooperation between the players. The game is then solved using game theory and the backward induction method. In this way both the optimal design of the given structure and the critical loading case at Nash Equilibrium are simultaneously identified. Chapter 5 is devoted to heuristic algorithms. The inherent problem of the method lies in the combinatorial explosion of the set of the possible alternatives that define the solution space, the accurate analysis of which demands huge computational time and computer memory, rendering the method inefficient, despite its theoretical power. This flaw is due to the fact that even in small scale problems, the number of possible strategies available to the defending player is just too big to handle. Game theory requires serial analysis of every particular solution, which renders inefficient the above method in its classic form. For this reason three heuristic algorithms were employed, aiming to identify the optimal solution by examining only a small fraction of the solution space in a very short time period. This comes at the cost of giving up the certainty of finding the mathematically optimal solution, but preserving sufficient conditions for finding satisfactory solutions in the area of the theoretically optimal solution. One of the algorithms in use was the well-known Simulated Annealing algorithm, whereas the remaining two algorithms were developed just for the present thesis. By combining the maximization of minimum utility method with heuristic algorithms a powerful discrete optimization tool emerges, which is capable of solving numerous kinds of optimization problems. A code in Matlab is written, containing both the maximization of minimum utility method and the heuristic algorithms employed. The code was used in order to solve a number of structural optimization problems, which are discussed in chapter 6. These problems regard weight minimization, topology, shape optimization and displacement minimization with budget constraints. The validity of the suggested method is verified by solving already known problems from references. In all cases, the results of the suggested method match the results of the references. In Chapter 7 the conclusions of the thesis are presented, as well as some ideas for future work. Both the maximization of minimum utility method and the heuristic algorithms employed to accelerate the method have worked successfully. The suggested methodology can be applied to any kind of structural optimization problem. The method can be applied in any kind of structure, trusses, frames or any other structure, provided that the corresponding solver is available. Moreover, the method can also apply to structures with several loading cases. Of course, the heuristic algorithms used can be improved. Undoubtedly, this will accelerate the method even more.