Natural Deduction with General Elimination Rules and a Proof of Hauptsatz without multicut

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική παρουσιάσαμε το σύστημα φυσικής απαγωγής και την έννοια της κανονικοποίησης μιας απόδειξης φυσικής απαγωγής. Ακολούθως παρουσιάσαμε το σύστημα ακολουθητών Gentzen και το πολύ σημαντικό θεώρημα απαλοιφής της τομής. Στη συνέχεια περάσαμε σε ένα καινούριο σύστημα Φυσικής Απαγωγής με Γενικευμένους Κανόνες Απαλοιφής. Χάρη στους καινούριους κανόνες πλέον ισχύει μια ισοδυναμία μεταξύ Φυσικής Απαγωγής και συστήματος ακολουθητών χωρίς τα προβλήματα που υπήρχαν με το σύνηθες σύστημα Φυσικής Απαγωγής. Εξετάσαμε τις κανονικές και τις μη-κανονικές αποδείξεις σε αυτό το σύστημα και δείξαμε ότι ισχύει η κανονικοποίηση ως ισοδύναμη πράξη με την απαλοιφή της τομής. Στη συνέχεια παρουσιάσαμε μια διαφορετική απόδειξη του Hauptsatz χωρίς τον κανόνα της πολυτομής που είχε εισάγει ο Gentzen στην περίπτωση που η δεξιά υπόθεση της τομής είχε προέλθει από συστολή.

In this thesis we presented the Natural Deduction System and the concept of normalization of Natural Deduction derivation. Next, we presented Gentzen's Sequent Calculus and the very important cut elimination theorem. We continued with a new system of Natural Deduction with General Elimination Rules. Thanks to the new rules, we now have a correspondence between Natural Deduction and Sequent Calculus without the problems that existed with the standard Natural Deduction system. We examined normal and non-normal derivations in this system and we showed that normalization applies as an equivalent procedure to Cut Elimination. Last, we presented a different proof of Hauptsatz without the Multicut rule that was introduce by Gentzen in the case that the right premiss of the Cut rule was derived by contraction.