Ανάλυση Φορέων με τη Μέθοδο Πολλαπλών Κλιμάκων

Abstract

Η αναλυτική επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων της μηχανικής στις μέρες μας καθίσταται δυσχερής εως αδύνατη χωρίς την εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων και τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων αποτελεί σήμερα ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων και εξελίσσεται με μεγάλη ταχύτητα τόσο σε ακαδημαϊκό όσο και σε επαγγελματικό επίπεδο. Ενδεικτικά, αν και επινοήθηκε και χρησιμοποιήθηκε για τη στατική ανάλυση φορέων, έχει καθολικότερη εφαρμογή σε μια ευρύτερη κατηγορία προβλημάτων του μηχανικού, όπως στη ρευστομηχανική, στη μεταφορά θερμότητας, στην ακουστική, στον ηλεκτρομαγνητισμό και στην εμβιομηχανική. Επιπλέον, η εξέλιξη στων Η/Υ με τις ολοένα μεγαλύτερες δυνατότητες διαχείρισης όγκου δεδομένων αλλά και με την αύξηση της ταχύτητας εκτέλεσης των αριθμητικών πράξεων κατέστησε εφικτή την επίλυση σύνθετων προβλημάτων τα οποία θεωρούνταν απροσπέλαστα πριν μερικά χρόνια.

Στην κατηγορία αυτή, των προβλημάτων αυξημένου υπολογιστικού κόστους, ανήκει και η καταστατική περιγραφή πολυφασικών υλικών. Είναι γεγονός ότι το μεγαλύτερο μέρος των παραγώμενων δομικών υλικών σήμερα, παρουσιάζει κάποιο είδος ανομοιογένειας, διακριτή ή μη στην κλίμακα δομικών έργων. Χαρακτηριστικά παραδείγματα αποτελούν τα κράματα μετάλλων, τα πορώδη, τα πολυκρυσταλλικά και τα σύνθετα υλικά στα οποία το μέγεθος, το σχήμα και οι ιδιότητες των συστατικών τους μερών καθορίζουν άμεσα τη συνολική τους μηχανική συμπεριφορά.

Διάφορες τεχνικές έχουν αναπτυχθεί για την προσομοίωση και την περιγραφή της απόκρισης ανομοιογενών υλικών. Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στη μέθοδο ομογενοποίησης πολλαπλών κλιμάκων η οποία συνίσταται στην επίλυση δύο εμφωλευμένων προβλημάτων συνοριακών τιμών, για τη μακροκλίμακα και τη μικροκλίμακα αντίστοιχα. Τα βασικά χαρακτηριστικά μιας τέτοιας μεθόδου είναι ότι - Δεν απαιτείται η περιγραφή των καταστατικών νόμων του μακροφορέα. - Παρέχει τη δυνατότητα ενσωμάτωσης μεγάλων παραμορφώσεων και στροφών τόσο στην προσομοίωση της μικροκλίμακας όσο και του μακροφορέα. - Παρέχει τη δυνατότητα λεπτομερούς προσομοίωσης των συστατικών μερών της μικροκλίμακας. - Επιτρέπει οποιαδήποτε τεχνική επίλυσης στην κλίμακα του μικροφορέα.

Αναλυτικά, σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή. υπολογίζεται το διάνυσμα ανηγμένων παραμορφώσεων σε κάθε υλικό σημείο του μακροφορέα το οποίο στη συνέχεια χρησιμοποιείται για τη μόρφωση των συνοριακών συνθηκών του αντιπροσωπευτικού μικροφορέα στο αντίστοιχο σημείο. Μετά την επίλυση του προβλήματος συνοριακών τιμών της μικροκλίμακας, το διάνυσμα των τάσεων του μακροφορέα υπολογίζεται μέσα από τη διαδικασία ομογενοποίησης του πεδίου των τάσεων και κατά τον τρόπο αυτό υπολογίζεται η σχέση τάσεων ανηγμένων παραμορφώσεων για κάθε υλικό σημείο

Ωστόσο, υπάρχουν κάποιοι περιορισμοί στην εφαρμογή της εν λόγω υπολογιστικής τεχνικής. Συγκεκριμένα, παρά το ότι κατά την προσομοίωση λαμβάνονται υπ' όψην οι διάφορες παράμετροι της μικροκλίμακας όπως το ποσοστό όγκου, η κατανομή και η μορφολογία των συστατικών μερών του υλικού, τα αποτελέσματα της μεθόδου είναι ανεξάρτητα από το απόλυτο μέγεθος του αντιπροσωπευτικού όγκου της μικροκλίμακας.

Παρ' όλα αυτά, η τεχνική ομογενοποίησης στα πλαίσια ανάλυσης πολλαπλών κλιμάκων αποτελεί ένα σημαντικό εργαλείο για τον υπολογισμό των καταστατικών σχέσεων πολυφασικών υλικών στα οποία είναι αδύνατη η εφαρμογή οποιασδήποτε άλλης μεθόδου.

Nowadays, analysis of complicated problems in the domain of mechanics consti- tutes a hard and even impossible task without the implementation of numerical methods and the employment of computational machines. Finite element method is a powerful tool for the solution of such problems and is rapidly developed in an academic and professional sense. Even if it was developed and implemented for structural analysis, it is widely employed in several domains such as in fluid mechanics, heat transfer, acoustics and electromagnetism. Furthermore, the development of computer hardware in terms of data processing, has significantly contributed to the solution of problems that were considered inaccessible a few years ago.

Most of the materials produced in industry are heterogeneous on one or another spatial scale. Typical examples include metal alloy systems, porous media and polycrystalline materials and composites. The overall response of these micro heterogeneous materials depends strongly on the size, shape properties and spatial distribution of the microstructural components. Several techniques have been developed for the prediction of the macroscopic behavior of such materials. The present work is concentrated on the first order homogenization technique in the framework of a multi-scale approach which consists of the solution of two nested boundary value problems, for the macro-scale and the micro-scale respectively. Methods of this type - Do not require any constitutive assumption with respect to the overall ma- terial behavior. - Enable the incorporation of large deformations and rotations on both micro and macrolevel. - Provide the possibility to introduce detailed microstructural information. - Allow the use of any modelling technique at the microlevel.

Concretely, according to this approach, the macroscopic deformation tensor is calculated for every integration point of the macrostructure and then is used to formulate the kinematic boundary conditions for the associated microstructural representative volume element (RVE). After the solution of the microstructural boundary value problem, the macroscopic stress tensor is computed by averaging the resulting microstructural stress field over the volume of the RVE and as a result, we obtain the stress-strain relation at every macroscopic point. However, there is a major disadvantage of the existing first-order computational homogenization. More specifically, this technique can account for the volume fraction, distribution and morphology of the micro-components however, it cannot take into account the absolute size of the microstructure making it thus impossible to treat microstructural size effects. Nevertheless, computational homogenization provides a significant strategy to obtain micro-macro structure-property relations for materials for which the overall macroscopic response cannot be computed by any other method.