Λατινικά Τετράγωνα

Abstract

Ένα Λατινικό Τετράγωνο τάξης n είναι ένας πίνακας n x n με ακριβώς n διαφορετικά σύμβολα όπου κάθε σύμβολο εμφανίζεται μία φορά σε κάθε γραμμή και μία φορά σε κάθε στήλη. Ένα Λατινικό Τετράγωνο L τάξης n λέγεται κανονικοποιημένο αν η πρώτη του γραμμή και η πρώτη του στήλη είναι σε φυσική σειρά 0,1,2,...,n-1 . Το πλήθος των λατινικών τετραγώνων τάξης n , είναι n!(n-1)! φορές το πλήθος των κανονικοποιημένων λατινικών τετραγώνων. Ένα λατινικό ορθογώνιο p x q είναι ένας πίνακας p x q με στοιχεία από το σύνολο {1,2,...,n} τα οποία είναι διαφορετικά μεταξύ τους σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη. Στην περίπτωση που ισχύει p=q=n έχουμε το λατινικό τετράγωνο. Κάθε p x n λατινικό ορθογώνιο με στοιχεία από το σύνολο {1,2,...,n} μπορεί να επεκταθεί σε n x n λατινικό τετράγωνο. Όμως τα p x q λατινικά ορθογώνια δεν επεκτείνονται πάντα. Δύο λατινικά τετράγωνα τάξης n ονομάζονται ορθογώνια, εάν η υπέρθεσή τους αποτελείται από n^2 διαφορετικά ζεύγη συμβόλων ή παρόμοια εάν η υπέρθεσή τους περιλαμβάνει όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των συμβόλων των δύο λατινικών τετραγώνων. Το τετράγωνο που δημιουργείται από τη συγχώνευση δύο ορθογώνιων λατινικών τετραγώνων ονομάζεται Ελληνο-Λατινικό Τετράγωνο ή τετράγωνο του Euler. Το πρόβλημα που μας απασχολεί είναι για ποιες τιμές του n υπάρχουν ορθογώνια n x n λατινικά τετράγωνα. Δείξαμε ότι υπάρχουν πεπερασμένα προβολικά επίπεδα τάξεων n=2,3,4,5,7,8,9 και 11 γιατί είναι όλοι πρώτοι ή δύναμη πρώτων αριθμών και άρα υπάρχουν τα n-1 αναμεταξύ τους ορθογώνια n x n λατινικά τετράγωνα. Δεν υπάρχει πεπερασμένο προβολικό επίπεδο τάξης 6 γιατί, όπως παρατηρήσαμε νωρίτερα, δεν υπάρχει ζευγάρι ορθογωνίων λατινικών τετραγώνων . Τι γίνεται όμως στην περίπτωση που n=10; Μόλις το 1989 οι C. Lam, L. Thiel και S. Swierz ήταν έτοιμοι να ανακοινώσουν μία διεξοδική μελέτη με υπολογιστές η οποία έδειξε ότι δεν υπάρχει πεπερασμένο προβολικό επίπεδο τάξης 10. Παρόλα αυτά υπάρχει ένα ζευγάρι ορθογωνίων λατινικών τετραγώνων τάξης 10 το οποίο πρώτος κατασκεύασε ο E. T. Parker το 1959. Τέλος υπάρχουν πολύ σημαντικές και ενδιαφέρουσες χρήσεις των ορθογώνιων λατινικών τετραγώνων ως εργαλεία για την επίλυση άλλων προβλημάτων. Κάποιες από τις εφαρμογές τους πραγματοποιούνται στον πειραματικό σχεδιασμό, στο πρόβλημα του χρωματισμού των γράφων, στους κώδικες διόρθωσης λαθών και στην κρυπτογραφία.

A latin square of order n is an n x n array in which n distinct symbols are arranged so that each symbol occurs exactly once in each row and column. A latin square L of order n is said to be a standard latin square (or reduced latin square) if and where the rows and columns are indexed by 0,1,2,...,n-1. The number of latin squares of order n is n!(n-1)!ln , where ln denote the number of standard latin squares. An p x q latin rectangle R is an p x q array based on Zn such that each element of Zn occurs in each row and column of R at most once. (For rows, occurs exactly once.) If p=q=n then we have a latin square. Every p x n latin rectangle can be extended to a latin square of order n. But not all the p x q latin rectangle can be extended. Two latin squares of the same size are said to be orthogonal if every possible ordered pair of symbols occurs exactly once when we overlay the two squares. The amalgamated array of the pairs from two orthogonal latin squares is sometimes referred to as a Graeco-Latin square or as an Euler square. But for which values of n do orthogonal latin squares exist? We have seen that finite projective planes of orders n=2,3,4,5,7,8,9 and 11 all exist because these are all primes or powers of primes and so are covered by our existence theorem for n-1 mutually orthogonal n x n latin squares. There is no finite projective plane of order 6 because there exists no pair of orthogonal 6 x 6 latin squares. The next case not covered is n=10 and it was only in 1989 that C. Lam, L. Thiel and S. Swierz were able to announce that an exhaustive computer search had shown that no finite plane of order 10 exists. However, there exist a pair of orthogonal latin square of order 10, which constructed first from E. T. Parker in 1959. Finally, latin squares developed into a very respectable branch of mathematics with various applications. Some of those are applications to areas including experimental designs, graph coloring problems, error-correcting codes, cryptography.