Hysteretic finite elements and macro-elements for nonlinear dynamic analysis of structures

Abstract

Η ελαστοπλαστική απόκριση των κατασκευών υπό στατικά ή/ και δυναμικά φορτία αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα της Ανάλυσης των Κατασκευών. Η παρούσα διατριβή εστιάζει στην ανάπτυξη κατάλληλων υπολογιστικών εργαλείων τα οποία διευκολύνουν τόσο την ανάπτυξη όσο και την εφαρμογή των μη γραμμικών μεθόδων ανάλυσης. Για το σκοπό αυτό, δίδεται ιδιαίτερη έμφαση στην ανάπτυξη ενός γενικευμένου υστερητικού προσομοιώματος, στα πλαίσια της κλασικής θεωρίας της συσχετισμένης πλαστικότητας. Το προσομοίωμα αυτό μπορεί να αποδώσει οποιαδήποτε ελαστοπλαστική συμπεριφορά εναλλάσσοντας το κριτήριο διαρροής και τον νόμο κράτυνσης. Οι καταστατικές σχέσεις οι οποίες προκύπτουν και οι οποίες ορίζονται στον χώρο των τάσεων, επεκτείνονται, ολοκληρούμενες, στο χώρο των εντατικών μεγεθών. Οι προκύπτουσες καταστατικές σχέσεις, σε όρους εντατικών μεγεθών – γενικευμένων παραμορφώσεων, χρησιμοποιούνται για την ανάπτυξη πρωτότυπων μακροστοιχείων για τη μη γραμμική ανάλυση ραβδωτών φορέων. Αρχικά προτείνεται ένα τρισδιάστατο υστερητικό στοιχείο δικτυώματος. Η διατύπωση γίνεται στο πεδίο των μεγάλων μετατοπίσεων. Επιπρόσθετα, διατυπώνεται ένα τρισδιάστατο στοιχείο δοκού Timoshenko. Το φαινόμενο της ανομοιόμορφης στρέψης λαμβάνεται υπόψη στην προτεινόμενη διατύπωση. Τέλος, παρουσιάζεται μια γενική διαδικασία για την παραγωγή υστερητικών πεπερασμένων στοιχείων. Το υστερητικό μητρώο δυσκαμψίας των στοιχείων προκύπτει ως μία συνεχής συνάρτηση των συνιστωσών του τανυστή των τάσεων. Στην παρούσα διατριβή, για την επίλυση των μη γραμμικών εξισώσεων κίνησης της κατασκευής οι κλασσικές αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων επαναδιατυπώνονται. Η διαδικασία αυτή είναι απαραίτητη ώστε να εισαχθούν οι υστερητικές εξισώσεις στις υφιστάμενες μεθόδους επίλυσης. Εναλλακτικά, προτείνεται η διατύπωση των εξισώσεων κίνησης και των υστερητικών καταστατικών εξισώσεων σε μορφή χώρου φάσης. Η διατύπωση αυτή παρουσιάζει υπολογιστικά πλεονεκτήματα, ειδικά σε μαθηματικά «δύσκαμπτα» προβλήματα. Επιπρόσθετα, προτείνεται μία νέα μέθοδος επίλυσης κατά την οποία τα καταστατικά μητρώα της κατασκευής και συγκεκριμένα το μητρώο δυσκαμψίας και το υστερητικό μητρώο υπολογίζονται μόλις μία φορά στην αρχή της ανάλυσης. Στα πλαίσια της διδακτορικής αυτής εργασίας αναπτύχθηκε κώδικας ηλεκτρονικού υπολογιστή για την ανάλυση των κατασκευών με υστερητικά πεπερασμένα στοιχεία και μακροστοιχεία. Η ανάπτυξη του κώδικα πραγματοποιήθηκε σε περιβάλλον Fortran και Matlab. Οι προτεινόμενες διατυπώσεις ελέγχονται ως προς την ακρίβειά και την ταχύτητα τους με κατάλληλα παραδείγματα στα οποία επιδιώκεται σύγκριση με γνωστά πακέτα λογισμικού τόσο εμπορικά όσο και ακαδημαϊκά.

A problem of significant importance in structural engineering deals with the response of elastoplastic structures subjected to either static or dynamic loading. This dissertation focuses on the derivation of computational tools that facilitate both the development and the application of nonlinear solution methods. Attention is drawn on the definition of a generalized hysteretic model that accounts for any type of yield function and kinematic hardening rule. This is accomplished on the basis of the classical plasticity theory and the mathematical theory of hysteresis. Based on the phenomenological approach of classical plasticity the relations derived in stress space are projected onto the stress-resultant space. Within this framework, a novel three dimensional truss element that also accounts for geometrical nonlinear effects is presented. Additionally, a novel three-dimensional hysteretic Timoshenko beam element with torsional warping is derived. These elements are macro-elements in the sense that the corresponding constitutive relations are defined in terms of stress resultants and generalized deformation measures. Moreover, a generic procedure for the derivation of finite elements is presented. The stiffness matrix of the generic element is established as a smooth function of the current stress state through the proposed Bouc-Wen formulation. The classical second order solution schemes, namely the central difference method and the Newmark family of solvers are reformulated to account for the hysteretic equations in rate form. Moreover, the state-space approach is implemented for the solution of the equations of motion. A predictor corrector differential solver is used which demonstrates certain advantages when stiff problems are accounted for. Finally, a formulation of the equations of motion is proposed, that renders computational advantages compared to standard solution schemes, since the state matrices of the structure are evaluated only once in the beginning of the analysis and remain constant throughout the analysis procedure. A general purpose finite element code is developed that accounts for the hysteretic finite elements and macro-elements as well as the solution procedures introduced in this work. The proposed formulations are verified through illustrative examples that demonstrate the validity and accuracy of the proposed formulations. Furthermore, the advantages of the proposed set of elements are examined in terms of accuracy and computational cost as compared to standard nonlinear FEM derivations adopted both in academic and commercial source codes.