Η μέθοδος coreMCBB για προβλήματα knapsack με πολλές αντικειμενικές συναρτήσεις και εφαρμογή σε ένα πρόβλημα επιλογης ερευνητικών προγραμμάτων

Abstract

Μια ευρέως αποδεχτή τεχνική επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού (και του προβλήματος του σακιδίου) είναι η μέθοδος Διαδοχικών Ορίων (Branch and Bound Method). Στην συγκεκριμένη εργασία χρησιμοποιείται η πολυκριτηριακή έκδοση της μεθόδου Branch and Βound και εξετάζεται το πολυκριτηριακό πρόβλημα του σακιδίου (Knapsack) .

Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι τόσο η θεωρητική προσέγγιση ενός αλγορίθμου που εκμεταλλεύεται την έννοια του πυρήνα και βασίζεται στα πολυκριτηριακά προβλήματα Knapsack με πολλές αντικειμενικές συναρτήσεις και έχει το ακρώνυμο coreMCBB, όσο και μία εφαρμογή της μεθόδου αυτής σε ένα υπολογιστικό πρόβλημα για ένα πανεπιστημιακό ίδρυμα. Έχοντας λύσει το ίδιο πρόβλημα με άλλο αλγόριθμο, augmecon2, επιχειρείται η σύγκριση της μεθόδου coreMCBB με στόχο την απόδειξη των πλεονεκτικών της χαρακτηριστικών. Η χρήση του αξιώματος "διαίρει και βασίλευε" (divide and conquer) είναι πολύ αποτελεσματική στην περίπτωσή μας αφού αντί για τη λύση ενός μεγάλης κλίμακας προβλήματος, λύνονται πολλά μικρότερα υποπροβλήματα πυρήνα.

Δύο είναι οι βασικές παράμετροι της μεθόδου coreMCBB: η παράμετρος δ που καθορίζει το μέγεθος του πυρήνα και η παράμετρος w που ορίζει τα διαστήματα βάρους και στην ουσία καθορίζει τον αριθμό των υποπροβλημάτων για κάθε αρχικό MOMDKP πρόβλημα. Παρατηρήθηκε ότι όσο αυξανόταν το μέγεθος του πυρήνα καθώς και ο συντελεστής βάρους, αυξανόντουσαν και οι ικανές παραγόμενες λύσεις, ενώ οι ακραίες ικανές λύσεις παρέμεναν σταθερές αφού εξαρτώνται από το διάστημα βάρους.

Συμπερασματικά, για τη συγκεκριμένη εφαρμογή στο πρόβλημα knapsack γραμμικού προγραμματισμού, η μέθοδος coreMCBB έδωσε μία πολύ καλή προσέγγιση λύσεων σε πολύ συντομότερο χρόνο επίλυσης σε σχέση με την augmecon2 και με όχι σημαντικές απώλειες στην απεικόνιση και σύγκριση των λύσεων ως προς τη συχνότητα εμφάνισης στο Pareto front.

The knapsack problem is among the most popular combinatorial optimization problems in Operations Research (OR), with a vast range of applications. If there are involved many constrains, then the problem is known in the literature as multi-dimensional knapsack problem.

The core concept in multi-objective knapsack problems is of utmost importance. It is actually an application of the "divide and conquer" principle. Namely, instead of solving a problem with all the binary variables, several problems with only a small fraction of the decision variables are solved. Then, the results are appended and merged. In this way we quickly obtain a good approximation of the set of non-dominated outcomes. This approximation is also known as the Pareto front.

We presented an algorithm (coreMCBB) for the effective production of good enough representations of the non-dominated set for the MOMDKP problem instances. CoreMCBB is based on a previous algorithm (MCBB) taking the advantage of the core issue in knapsack problems. CoreMCBB is capable of solving efficiently MOMDKP instances with more than two objective functions providing rich representations of the non-dominated set. The "divide and conquer" solution strategy is very effective in our case, as there are solved many smaller subproblems instead of a big one. A computational study was also performed in order to study the coremCBB algorithm and compare it against "augmecon2" algorithm.

Two are the key parameters of the method: parameter δ that determines the core size and parameter w that defines the weight intervals and actually determines the number of core subproblems. Increasing both parameters, there are generated very good approximations of the optimal Pareto set solutions.