Προσέγγιση της εικασίας του Hadwiger για πυκνά γραφήματα

Abstract

Η εικασία του Hadwiger είναι ένα ανοιχτό πρόβλημα της θεωρίας γραφημάτων. Συγκεκριμένα, ο Hadwiger, με την εικασία υπέθεσε ότι όταν ο χρωματικός αριθμός ενός γραφήματος είναι μεγαλύτερος ή ίσος ενός αριθμού k, τότε θα περιέχει ένα πλήρες γράφημα k κορυφών ως έλασσον. Το κύριο κομμάτι της εργασίας είναι η παρουσίαση μιας προσεγγιστικής απόδειξης του Mader, στην οποία αξιοποιούνται οι τεχνικές της πιθανοτικής μεθόδου, μέσω της οποία δεν επαληθεύεται η γραμμικότητα που έχει υποτεθεί στην εικασία αλλά πετυχαίνει ένα κάτω φράγμα στην πυκνότητα ενός γραφήματος, με λογαριθμική σχέση με το k, τέτοιο ώστε για τυχαία γραφήματα μεγαλύτερης πυκνότητας να περιέχονται πλήρη γραφήματα k κορυφών ως ελάσσονα

Hadwiger's conjecture is an open mathematical problem of graph theory. Hadwiger assumed that, if the chromatic number of a graph is greatere than or equal to a k, then there will be a complete graph of k ωερτιψεσ as a minor. The main chapter of this thesis has to do with Mader's approximation of the conjecture which uses the probabilistic method. The proof does not verify the linearity between chromatic number and the comlete grapf of k vertices as a minor. He proved that for random graphs there exist a lower bound on the density, such that they include a complete graph of k vertices as a minor.