Κατηγορική CS4 Λογική

Abstract

Η Θεωρία Αποδείξεων είναι ένας κλάδος της Μαθηματικής Λογικής για τη μελέτη αποδείξεων ή απαγωγών ως τυπικά μαθηματικά αντικείμενα. Οι απαγωγές που μελετάμε εδώ είναι της προτασιακής CS4 λογικής, μιας τροπικής επέκτασης της προτασιακής ιντουισιονιστικής λογικής. Στην εργασία αυτή, ορίζουμε ένα μοντέλο της προτασιακής CS4 λογικής πάνω στη Θεωρία Κατηγοριών, κατασκευάζοντας έτσι μια κατηγορία που ερμηνεύει τους τύπους της λογικής ως αντικείμενα, τις απαγωγές της ως βέλη μεταξύ αντικειμένων και την ισοδυναμία απαγωγών ως ισότητα βελών. Αρχικά, ορίζουμε έννοιες της Θεωρίας Κατηγοριών που θα μας χρησιμεύσουν στην κατανόηση του μοντέλου. Έπειτα, ορίζουμε το σύστημα φυσικής απαγωγής για την CS4 λογική, μαζί με τους απαραίτητους κανόνες αναγωγής για την κανονικοποίηση των απαγωγών, και δίνουμε το μοντέλο της πάνω στη Θεωρία Κατηγοριών. Τέλος, αποδεικνύουμε τα αντίστοιχα θεωρήματα ορθότητας και πληρότητας. Το τελευταίο μας έδωσε την ευκαιρία για μια εις βάθος ανάγνωση του συστήματος φυσικής απαγωγής στο CS4, καταλήγονας σε ενδιαφέροντα συμπεράσματα σχετικά με τους κανόνες αναγωγής και τον ρόλο της σταθεράς του ψεύδους, τα οποία δεν είναι τόσο εμφανή από τη ματιά της Θεωρίας Αποδείξεων.

Proof Theory is the branch of Mathematical Logic which studies proofs as formal mathematical objects. The proofs that we consider here belong to the CS4 logic, a modal expansion of intuitionistic propositional logic. In this thesis, we define a category-theoretical model of propositional CS4 logic. That is, we construct a category that models formulas as objects, proofs as arrows between objects, and proof equivalence as arrow equality. First, we define notions of Category Theory which we shall use for constructing our model. We then proceed to define the natural deduction system for CS4 logic, together with the necessary reduction rules for proof normalization, and construct its category theoretical model. Finally, we prove the corresponding soundness and completeness theorems, which constitute the main thrust of the thesis. The latter gave us the opportunity for an in-depth study of the CS4 natural deduction system which led to interesting conclusions about the reduction rules and the role of falsehood. Conclusions which were not so visible within the proof-theoretical context.