Θεώρημα Σταθερού Σημείου του Brouwer και εφαρμογές

Abstract

Η προκείμενη εργασία αφιερώνεται στην απόδειξη του θεωρήματος σταθερού σημείου του Brouwer με το λήμμα του Sperner, μια γενίκευση αυτού και μια εφαρμογή του στη θεωρία παιγνίων. Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Luitzen Brouwer το 1912 και συνιστά βασικό θεώρημα της τοπολογίας. Αναφέρει ότι κάθε συνεχής απεικόνιση, από ένα κυρτό και συμπαγές σύνολο στον εαυτό του, έχει σταθερό σημείο. Λέγεται ότι η ιδέα για τη διατύπωση του θεωρήματος ήρθε στον επινοητή του παρατηρώντας ότι καθώς ανάδευε τον καφέ του, για να διαχυθεί η Ζάχαρη, υπήρχε κάθε στιγμή ένα σημείο το οποίο παρέμενε ακίνητο. Το πρώτο κεφάλαιο της εργασίας περιέχει κάποια γενικά στοιχεία για την τοπολογία των κυρτών συνόλων που μας εξασφαλίζουν την ομοιομορφία των κυρτών και συμπαγών υπο- συνόλων του Rn. Ο προηγούμενος ισχυρισμός είναι ιδιαίτερα σημαντικός για την απόδειξή του κεντρικού θεωρήματος, καθώς δια μέσου αυτού αρκεί να αποδειξθεί το Σητούμενο για τα n-simplex• υποσύνολα του Rn με τις ιδιότητες του θεωρήματος. ́Ετσι το δεύτερο κεφάλαιο αφιερώνεται στη μελέτη των n-simplex, με στόχο στο αμέσως ε- πόμενο κεφάλαιο να δοθεί η απόδειξη του λήμματος Sperner που αφορά στα simplex. Το λήμμα αυτό αποτελεί το συνδυαστικό ανάλογο του θεωρήματος Brouwer και η χρήση του εντοπίζεται στο λημμα των Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz που αποδεικνύεται στο κεφά- λαιο 4. Στο κεφάλαιο 5, δια μέσου του λήμματος αυτού παρουσιάζεται η απόδειξη του κεντρικού θε- ωρήματος• του θεωρήματος σταθερού σημείου του Brouwer.Η βασική ιδέα του θεωρήματος σταθερού σημείου του Brouwer γενικέυεται για πλειότιμες απεικόνισές στο θεώρημα στα- θερού σημείου του Kakutani, το οποίο αποδεικνύεται στο καφάλαιο 6. Η εργασία περιέχειστο τελευταίο κεφάλαιο την εφαρμογή του θεωρήματος σταθερού σημείου του Kakutani σε ένα από το πλέον σημαντικά θεωρήματα της θεωρίας παιγνίων • την υπάρξη ισορροπίας κατά Nash σε παίγνιο n παικτών.

The present thesis is about the proof of the Brouwer Fixed Point Theorem via Sperner’s Lemma, one of its generalizations (Kakutani’s Theorem) and its main application in Game Theory (Nash Equilibrium). The theorem has been proven by lt Luitzen Brouwer in 1912 and is a key theorem of topology. It states that for any continuous function mapping a compact convex set into itself there fixed point. The theorem is supposed to have originated from Brouwer’s observation of a cup of coffee. While he was stirring his coffee to diffuse the sugar, every time there was one point which remained stationary. The first chapter of this work consists of some general informations on compact sets that let us establish a homomorphism between convex and compact subsets in Rn. The former claim is particularly important for the proof of the main theorem, as it is finally proved for n-simplex; subsets of Rn with the properties of the theorem. Thus,in the second chapter we study n-simplexes, in order to give the proof Sperner Lemma. This lemma is the combinatorial analogue of Brouwer’s Theorem and it is used in the proof of Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz Lemma in Chapter 4. Chapter 5 , deals with the proof of Brouwer Fixed Point Theorem,which uses the above lemma. The main idea of Brouwer’s Fixed Point Theorem is then generalized for set-valued functions in Kakutani Fixed Point Theorem in chapter 6. Finally, the lest chapter of this dissertation, the proof of one of the existence of Nash equilibrium in finite mixed strategy games via Kakutani fixed Point Theorem is presented.