Εντοπισμός του μετώπου Pareto στην πολυκριτηριακή αεροδυναμική βελτιστοποίηση με μέθοδο Newton με αποκοπή

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία αφορά τον εντοπισμό των ϐέλτιστων λύσεων ενός προβλήματος ϐελτιστοποίησης πολλών στόχων χρησιμοποιώντας αιτιοκρατικές με- ϑόδους, δηλαδή μεθόδους που χρησιμοποιούν την κλίση της συνάρτησης στόχου. Συγκεκριμένα, η εργασία στηρίχτηκε στην εργασία [1], στην οποία αποδεικνύεται ότι από ϐέλτιστη λύση υπάρχει η δυνατότητητα να προβλεφθεί η ϑέση μιας γειτο- νικής λύσης στο μέτωπο κατά Pareto. Αυτό πραγματοποιείται με την επίλυση ενός συστήματος, το οποίο περιλαμβάνει τις πρώτες και τις δεύτερες παραγώγους των συναρτήσεων-στόχων και περιορισμών του προβλήματος. Σε μια προσπάθεια πε- ϱιορισμού του υψηλού κόστους των μητρώων δεύτερων παραγώγων, στη παρούσα εργασία συνδυάστηκε η επίλυση του συστήματος με τη χρήση της μεθόδου συζυ- γών κλίσεων και τη μέθοδο Newton με αποκοπή. Στην εργασία αυτή μελετήθηκαν προβλήματα με περιορισμούς που εισάγονται από ϕραγμένα πεδία ορισμού των με- ταβλητών σχεδιασμού.

Αρχικά γίνεται μια μικρή αναφορά στον τρόπο με τον οποίο δημιουργείται ένα μέτω- πο ϐέλτιστων λύσεων, γνωστό ως μέτωπο κατά Pareto. ΄Επειτα, παρουσιάζεται ένας εναλλακτικός αιτιοκρατικός τρόπος εύρεσης του μετώπου, ο οποίος αποτελεί το κεν- τρικό ϑέμα της εργασίας. Αφού αναλυθεί από μαθηματική σκοπιά, ακολουθεί η σκιαγράφηση του αλγορίθμου αριθμητικής επίλυσης με τη μέθοδο Newton με απο- κοπή που προαναφέρθηκε.

Στη συνέχεια, πραγματοποιούνται κάποιες προκαταρκτικές εφαρμογές σε απλά μα- ϑηματικά προβλήματα ϐελτιστοποίησης δύο στόχων. Για την ακρίβεια, η προτει- νόμενη μέθοδος εφαρμόζεται σε δύο κυρτά μαθηματικά προβλήματα και σε ένα μη κυρτό. Τα αποτελέσματα της μεθόδου συγκρίνονται με τα αντίστοιχα αποτελέσματα ενός εξελικτικού αλγορίθμου, ο οποίος έχει αναπτυχθεί από τη ΜΠΥΡ&Β ΕΜΠ, και όπου είναι δυνατό με την αναλυτική λύση του μετώπου ϐέλτιστων λύσεων.

Η επόμενη ϕάση περιλαμβάνει την εφαρμογή σε προβλήματα αεροδυναμικής ϐελ- τιστοποίησης δύο στόχων. Συγκεκριμένα, επιλύθηκαν δύο προβλήματα ϱοής γύρω από αεροτομή. Στο πρώτο, οι δύο στόχοι ήταν η μεγιστοποίηση του συντελεστή άνωσης και η ελαχιστοποίηση της απόκλισης του εμβαδού της αεροτομής από μια συγκεκριμένη τιμή. Στο δεύτερο, ο ένας στόχος πάλι ήταν η μεγιστοποίηση του συντελεστή άνωσης ενώ ο δεύτερος ήταν η ελαχιστοποίηση του συντελεστή οπισθέλ- κουσας. Και στα δύο προβλήματα έγινε χρήση της μεθόδου Newton με αποκοπή και διερευνήθηκε το υπολογιστικό κόστος της προτεινόμενης μεθόδου.

Ο αλγόριθμος που αναπτύχθηκε συμπεριλαμβάνει και την επίλυση προβλημάτων περισσότερων των δύο στόχων. Μάλιστα, πραγματοποιήθηκαν δοκιμές για μαθη- ματικά προβλήματα τριών στόχων, χωρίς όμως να γίνει σε ϐάθος διερεύνηση. Με άλλα λόγια, με αυτή την εργασία έχουν ϑεμελιωθεί οι ϐάσεις για την επέκταση του αλγορίθμου για προβλήματα με επιπλέον περιορισμούς, καθώς και για τη μελέτη προβλημάτων τριών ή περισσότερων στόχων.

This diploma thesis investigates the tracing of the Pareto front using deterministic (gradient-based) optimization methods. It was based on the work [1], in which it was proven that it is plausible, using the information of a known optimized solution, to predict the position of another optimized solution on the Pareto front. This can be achieved by solving a system which consists of the first and second order derivatives of the objective and constrain functions. The adjoint differentiation method was preferred when calculating the first-order derivatives, while the truncated Newton method was used in order to reduce the excessive computational cost of the hessian matrix. The examined optimization problems included only constraints which are introduced by the design variable boundaries.

Firstly, there is a brief introduction in optimization methods and the creation of a Pareto front in deterministic optimization. Then, the theory on which this thesis is based is presented.

Secondly, some preliminary applications on mathematical two-objective optimization problems take place. Two of them are convex problems and one of them is concave. The results of the proposed method are compared with those of an evolutionary algorithm created by the PCopt/NTUA and with the analytical solutions, wherever it was feasible.

After the preliminary runs, two CFD problems where examined. In both problems, the target was the optimal shape of an airfoil according to two objectives. In the first problem, the first objective was the lift coefficient maximization while the second one was the minimization of the airfoil’s surface’s divergence from a target-value. In the second problem, the first objective was again themaximization of the lift coefficient and the second objective was the minimization of the drag coefficient. In both cases, the truncated Newton method was applied.

The developed algorithm can also handle optimization problems with more than two objectives. There were some trials done for three-objectives problems, without attempting an in depth investigation. In other words, in this thesis, the bases of extending the algorithm in order to be capable of handling constrained problems with additional constraints and problems with more than two objectives have been set.