Μαθηματική Προτυποποίηση του νευρομοντέλου Hodgkin - Huxley

Abstract

Το περιεχόμενο αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι η μαθηματική κατασκευή και παρουσίαση του μοντέλου Hodgkin – Huxley που αφορά στη διάδοση του δυναμικού δράσης στο γιγαντιαίο άξονα του καλαμαριού, καθώς και η αριθμητική επίλυση του. Τα δυναμικά δράσης αποτελούν το μηχανισμό μετάδοσης της πληροφορίας από κύτταρο σε κύτταρο. Έτσι περιγράφοντας μαθηματικά το μοντέλο Hodgkin – Huxley γίνεται κατανοητός ο τρόπος με τον οποίο λειτουργεί ο οργανισμός μας όταν μεταδίδεται κάποια πληροφορία στα νευρικά κύτταρα. Στην εισαγωγή δίνεται το απαραίτητο βιολογικό υπόβαθρο και οι αναγκαίες έννοιες που χρειάζονται για την διαδικασία παραγωγής του μοντέλου. Στο δεύτερο κεφάλαιο «Θεμέλια του μοντέλου Hodgkin - Huxley» παρουσιάζονται αναγκαίες εξισώσεις πάνω στις οποίες στηρίζεται η παραγωγή του μοντέλου Hodgkin - Huxley. Στο τρίτο κεφάλαιο «Κατασκευή του μοντέλου Hodgkin - Huxley» γίνεται η κατασκευή του μοντέλου Hodgkin – Huxley από καθαρά μαθηματική σκοπιά, καταλήγοντας σε ένα σύστημα τεσσάρων μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την απόκριση των συναρτήσεων των πυλών και της συνάρτησης του δυναμικού της μεμβράνης συναρτήσει του χρόνου όταν πυροδοτείται ένα δυναμικό δράσης. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο «Αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση του μοντέλου Hodgkin - Huxley» επιλύεται αριθμητικά το μοντέλο Hodgkin – Huxley με γνωστές αριθμητικές μεθόδους και με τη βοήθεια της γλώσσας προγραμματισμού Matlab γίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων του μοντέλου συναρτήσει του χρόνου.

Content of this thesis is the mathematical structure and presentation of the Hodgkin - Huxley model on the propagation of action potentials in the giant squid axon and the numerical solution of it. Action potentials are the transmission mechanism of information from cell to cell. So describing the Hodgkin - Huxley model we understand the way our body works when transmitting any information on nerve cells. In the introduction the necessary biological background and concepts needed are given for the production process of this model. In the second chapter, "Foundations of the Hodgkin – Huxley model» necessary equations are presented underpinning the production of the model. The third chapter "Construction of the Hodgkin – Huxley model» presents the construction of Hodgkin - Huxley model from a purely mathematical point of view, resulting in a system of four nonlinear differential equations describing the response of the gate functions and the function of membrane potential versus time when an action potential is triggered. In the fourth and final chapter "Numerical methods for solving the Hodgkin – Huxley model» the Hodgkin – Huxley model is numerically solved with known numerical methods and function graphs are plotted using Matlab programming language