Μη Γραμμική Ελαστοπλαστική Ομοιόμορφη Στρέψη Πρισματικής Δοκού με τη βοήθεια της Μεθόδου Συνοριακών Στοιχείων

Abstract

Στην παρούσα εργασία αναπτύσσεται η Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων για την ανάλυση ράβδων απλά ή πολλαπλά συνεκτικής διατομής τυχόντος σχήματος που υπόκεινται σε ελαστοπλαστική ομοιόμορφη στρέψη λαμβάνοντας υπόψιν το φαινόμενο της γεωμετρικής μη γραμμικότητας. Η προσαυξητική σχέση στρεπτικής ροπής - στροφής υπολογίζεται με βάση τη θεωρία μεγάλων μετατοπίσεων (μεγάλων στροφών), δηλαδή οι εγκάρσιες μετακινήσεις εκφράζονται έτσι ώστε να ισχύουν για μεγάλες στρεπτικές παραμορφώσεις. Ως αποτέλεσμα, η διαμήκης ορθή παραμόρφωση περιέχει γεωμετρικά μη γραμμικό όρο δεύτερης τάξης που είναι γνωστός στη βιβλιογραφία ως «παραμόρφωση Wagner». Η προτεινόμενη διατύπωση δε βασίζεται στην παραδοχή λεπτότοιχων διατομών, συνεπώς η στρεπτική αντίσταση της διατομής προσδιορίζεται επακριβώς χωρίς τη χρήση της λεγόμενης στρεπτικής σταθεράς κατά St. Venant. Η στρεπτική αντίσταση υπολογίζεται άμεσα χρησιμοποιώντας την πρωτογενή συνάρτηση στρέβλωσης που εξαρτάται τόσο από το σχήμα της διατομής όσο και από την πρόοδο της πλαστικοποίησης. Διατυπώνεται πρόβλημα συνοριακών τιμών ως προς την προαναφερθείσα συνάρτηση και επιλύεται αριθμητικά χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο Συνοριακών Στοιχείων. Η αναπτυχθείσα μέθοδος διατηρεί τα περισσότερα πλεονεκτήματα της Μεθόδου Συνοριακών Στοιχείων συγκριτικά με μεθόδους αμιγούς πεδιακής διακριτοποίησης παρά το γεγονός ότι απαιτεί πεδιακή διακριτοποίηση, η οποία απαιτείται μόνο για τον υπολογισμό ολοκληρωτικών ποσοτήτων. Η επιρροή της ορθής συνιστώσας του 2ου τανυστή τάσεων Piola – Kirchhoff στο λόγο πλήρως πλαστικής/ελαστικής ροπής για το πρόβλημα της ομοιόμορφης στρέψης διερευνάται και καταδεικνύεται.

In this project a Boundary Element Method (BEM) is developed for the inelastic uniform torsional problem of prismatic bars of arbitrarily shaped simply or multiply connected cross section taking into account the effect of geometrical nonlinearity. The incremental torque-rotation relationship is computed based on the finite displacement (finite rotation) theory, that is the transverse displacement components are expressed so as to be valid for large rotations and the longitudinal normal strain includes the second-order geometrically nonlinear term often described in the literature as the “Wagner strain”. The proposed formulation does not stand on the assumption of a thin-walled structure and therefore the cross section’s torsional rigidity is evaluated exactly without using the so-called Saint –Venant’s torsional constant. The torsional rigidity of the cross section is evaluated directly employing the primary warping function of the cross section depending on both its shape and the progress of the plastic region. A boundary value problem with respect to the aforementioned function is formulated and solved employing a BEM approach. The developed procedure retains most of the advantages of a BEM solution over a pure domain discretization method, although it requires domain discretization, which is used only to evaluate integrals. The influence of the second Piola – Kirchhoff normal stress component to the plastic/elastic moment ratio in uniform inelastic torsion is demonstrated.