Εφαρμογές των μεθόδων των υποφορέων για την επίλυση προβλημάτων μεγάλης κλίμακας με πεπερασμένα στοιχεία

Abstract

Ανέκαθεν ένας καίριος τομέας έρευνας της Υπολογιστικής Μηχανικής ήταν η ανάπτυξη μεθόδων με περιορισμένες απαιτήσεις υπολογιστικού χρόνου και μνήμης για την ανάλυση προσομοιωμάτων μεγάλης κλίμακας (large-scale models). Με τον όρο “προσομοιώματα μεγάλης κλίμακας” εννοούμε λεπτομερή προσομοιώματα κατασκευών με μεγάλο πλήθος αγνώστων βαθμών ελευθερίας, προσομοιώματα δηλαδή που συχνά εξαντλούν τις δυνατότητες των ηλεκτρονικών υπολογιστών από την άποψη χρόνου επίλυσης και απαιτούμενης μνήμης. Έτσι λοιπόν έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι που αποσκοπούν στην αποτελεσματική επίλυση τέτοιων προσομοιωμάτων και χαρακτηρίζονται ως “μέθοδοι υψηλών επιδόσεων” (“high-performance solution methods”). Τις τελευταίες δεκαετίες, ο τομέας των μεθόδων υψηλών επιδόσεων έχει μονοπωληθεί από τις μεθόδους επίλυσης με υποφορείς (Domain Decomposition Methods – DDM). Οι εν λόγω μέθοδοι έχουν αποδειχθεί ταχύτερες από άλλες δημοφιλείς κατηγορίες μεθόδων σε σειριακή και κυρίως παράλληλη επεξεργασία, η οποία γνωρίζει ιδιαίτερη άνθιση στα σύγχρονα υπολογιστικά συστήματα. Στη συγκεκριμένη διπλωματική εργασία αρχικά περιγράφονται τα θεωρητικά στοιχεία μερικών από τις βασικότερες μεθόδους επίλυσης με υποφορείς καθώς και μερικές εφαρμογές τους. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο μέρος της εργασίας παρουσιάζονται θεωρητικά : η Κύρια Συνοριακή Μέθοδος (Primal Substructuring Method – PSM), η Εξισορροπημένη Μέθοδος Επίλυσης με Υποφορείς (Balancing Domain Decomposition method – BDD), οι μέθοδοι FETI (FETI-1) και FETI-DP και από την οικογένεια των μεθόδων P-FETI παρουσιάζονται οι μέθοδοι P-FETI1 και P-FETIDP. Στο υπόλοιπο κομμάτι της διπλωματικής εργασίας επιλύονται ορισμένα προβλήματα, τόσο καλής όσο και κακής κατάστασης (well conditioned and ill conditioned), όπου μελετάται και συγκρίνεται η συμπεριφορά των προαναφερθέντων μεθόδων, σε φορείς που διακριτοποιούνται με πεπερασμένα στοιχεία επίπεδης έντασης καθώς και σε φορείς χωρίς δίκτυο (meshless).

The development of methods with minimum computational cost and memory requirements for the solution of large-scale models has always constituted a key research area in Computational Mechanics. In general, large-scale models are considered to be comprehensive models with a large number of unknown degrees of freedom, whom the solution is meant to be a challenging task in terms of solution time, accuracy and memory requirements for the computer system. In order to handle efficiently such models, methods known as “High-performance solution methods” have attracted the efforts of many research groups around the world. Over the last few decades the field of “High-performance computing” has been monopolized by Domain Decomposition Methods (DDM). The latter have surpassed other popular categories of methods, after being proved more efficient in sequential and particularly in parallel processing environments. The present thesis covers some of the most basic Domain Decomposition Methods both theoretically and experimentally. In particular, the first part of this thesis presents some theoretical aspects of the following methods : the Primal Substructuring Method (PSM), the Balancing Domain Decomposition method (BDD), the FETI (FETI-1) and FETI-DP methods and finally from the P-FETI family, the P-FETI1 and P-FETIDP methods. The remainder of the present thesis contains basic applications of the previously mentioned methods for solving both well-conditioned and ill-conditioned problems in domains discretized with 2D plane stress finite elements and meshless methods.