Βέλτιστοι πειραματικοί σχεδιασμοί με και χωρίς εξαρτημένες παρατηρήσεις

Abstract

Οι πειραματικοί σχεδιασμοί χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των παραμέτρων που μας ενδιαφέρουν σε ένα στοχαστικό μοντέλο. Ιδιαίτερα οι βέλτιστοι πειραματικοί σχεδιασμοί δίνουν «καλύτερες» εκτιμήσεις των παραμέτρων. Υπάρχουν διάφορες επιλογές κριτηρίων βελτιστοποίησης στην αντιμετώπιση του προβλήματος, επίσης υπάρχουν μοντέλα γραμμικά και μη γραμμικά καθώς και μοντέλα με ή χωρίς εξάρτηση. Η διατριβή ασχολείται με γραμμικά μοντέλα, για την εκτίμηση ενός υποσυνόλου των παραμέτρων. Η εκτίμηση γίνεται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Στην περίπτωση αυτή η πληροφορία που μας ενδιαφέρει περιέχεται στον πίνακα διασποράς, των εκτιμημένων παραμέτρων ή ισοδύναμα στον πίνακα πληροφορίας. Σκοπός της διδακτορικής έρευνας είναι να επεκταθούν τα μέχρι τώρα αποτελέσματα σε περιπτώσεις που δεν έχουν ερευνηθεί. Ως εργαλείο μελέτης χρησιμοποιείται η έννοια της κυριαρχίας (majorization). Εξετάζονται οι καθολικά βέλτιστοι σχεδιασμοί, αν υπάρχουν, αλλιώς χρησιμοποιούνται φ-βέλτιστοι σχεδιασμοί. Αν ούτε και αυτό είναι εφικτό, τότε γίνεται βελτιστοποίηση ως προς ορισμένα κριτήρια. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα κριτήρια βελτιστοποίησης είναι A, D, E, MV. Η διατριβή αυτή αποτελείται από πέντε κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο της διατριβής δίνονται κάποιες βασικές έννοιες. Παραθέτονται τα κριτήρια βελτιστοποίησης, δίνονται οι ορισμοί των καθολικά βέλτιστων, των φ-βέλτιστων και των A-, D- E-, MV- και G-βέλτιστων σχεδιασμών. Δίνεται επίσης μια σύντομη περιγραφή της έννοιας της κυριαρχίας και ορίζονται οι πίνακες σχεδιασμού και πληροφορίας. Η έννοια της κυριαρχίας χρησιμοποιείται για να αποδειχθεί αν ένας σχεδιασμός είναι φ-βέλτιστος. Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται με σχεδιασμούς γραμμής, όπου οι πειραματικές μονάδες τοποθετούνται στη σειρά στο χώρο ή στο χρόνο. Μελετούνται οι περιπτώσεις που οι παρατηρήσεις είτε είναι ανεξάρτητες, ή είναι εξαρτημένες και η εξάρτηση ακολουθεί μια πρώτης τάξης αυτοπαλινδρόμηση, AR(1), με παράμετρο α. Στο σημείο αυτό εξετάζονται σχεδιασμοί με δύο αγωγές και καθορίζονται οι βέλτιστοι σχεδιασμοί για τις διάφορες τιμές του α, όταν το πλήθος των πειραματικών μονάδων είναι άρτιο ή περιττό. Για να μειωθούν οι υπό εξέταση σχεδιασμοί ακολουθούμε μια διαδικασία φιλτραρίσματος. Στο τρίτο και στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζονται σχεδιασμοί γραμμής με τρεις αγωγές και εξάρτηση AR(1). Οι βέλτιστοι σχεδιασμοί για τις περιπτώσεις που οι αγωγές είναι τρεις εξαρτώνται από τις τιμές που παίρνει η παράμετρος α του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου. Ανάλογα με την τιμή που παίρνει το α γίνεται διαφορετική προσέγγιση του προβλήματος. Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζεται η περίπτωση που η παράμετρος α είναι θετική, δηλαδή το α παίρνει τιμές στο διάστημα (0,1), το οποίο είναι και πιο απαιτητικό πρόβλημα, ενώ στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζεται πλήρως η περίπτωση που η παράμετρος παίρνει αρνητικές τιμές στο (-1,0). Τέλος, το πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο πραγματεύεται τους 3k κλασματικούς παραγοντικούς σχεδιασμούς με στόχο την εύρεση βέλτιστων σχεδιασμών για την εκτίμηση των τυποποιημένων γραμμικών και τετραγωνικών αντιθέσεων για την περίπτωση που οι αγωγές έχουν τρία επίπεδα και πλήθος πειραματικών μονάδων Ν≡0mod3.

The experimental designs are used to estimate the parameters of interest in a stochastic model. Particularly the optimal designs give “best” estimates of these parameters. There are several optimization criteria to solve the problem, there are also linear and nonlinear models, with or without dependence of the observations The thesis deals with linear models, to estimate some parameters of interest. For the estimation the method of least squares is applied. In this case the information of interest is contained in the covariance matrix, of the estimated parameters or equivalently the information matrix. The purpose of this thesis is to find optimal designs for some cases that have not been investigated. As a study tool the concept of majorization is utilized. This thesis is composed of five chapters. The first chapter presents some basic concepts. The definitions of universal and φ optimality are given. The most commonly used optimization criteria are A, D, E, G,MV which are also defined. A brief description of the concept of majorization is presented and of information functions and information matrices.. The concept of majorization is used to determine whether a design is φ-optimal, which implies E,A,D optimality but not necessarily MV or G optimality. The second chapter deals with designs in which the experimental units are placed in a line. The observations are either independent or dependent and the dependence follows a first-order Autoregression, AR (1), with parameter α. In this chapter designs are studied with two treatments and the optimal designs are determined for various values of a, when the number of experimental units is even or odd. To reduce the number of the competing designs for optimality a filtering process is followed. In the third and fourth chapter row designs with three treatments and AR (1) dependence are studied The third chapter examines the case where the parameter α is positive, that is, α takes values in the interval (0,1), which is a more demanding problem. In the fourth chapter a detailed examination is given where the parameter α of the autoregressive model takes on negative values in the interval (-1.0). Finally, the fifth and last chapter deals with 3k fractional factorial designs with a view to finding optimal designs for the estimation of standardized linear and quadratic contrasts when treatments have three levels and the number of experimental units is N ≡ 0mod3. It is proved that the optimal designs are Balanced and Partially balance arrays which are defined and algorithms are developed for the construction of these arrays.