Θεμελιώδεις Ιδιότητες των Ολοκληρωτικών Εξισώσεων Hallén και Pocklington σε Γραμμικές Κεραίες Τροφοδοτούμενες Μέσω Διακένων

Abstract

Στην παρούσα διατριβή μελετούμε θεμελιώδεις ιδιότητες των ολοκληρωτικών εξισώσεων Hallén (Hallén Equation-ΗΕ) και Pocklington (Pocklington Equation-PE) για το μοντέλο της Γεννήτριας Πεπερασμένου Διακένου – ΓΠΔ (Finite Gap Generator - FGG) το οποίο χρησιμοποιείται εκτενώς ως μοντέλο τροφοδοσίας κυλινδρικών κεραιών. Τα συμπεράσματα που εξάγονται συγκρίνονται με τα αντίστοιχα του μοντέλου της Γεννήτριας Δέλτα Συνάρτησης – ΓΔΣ (Delta Gap Generator-DFG) που έχουν εξαχθεί σε προηγούμενες εργασίες. Αρχικά, στο Κεφάλαιο 1, γίνεται μια συνοπτική παρουσίαση μεθόδων για τον προσδιορισμό του ρεύματος γραμμικής κεραίας μέσω των εξισώσεων ΗΕ και PE. Παρουσιάζεται το μοντέλο του «σωληνοειδούς διπόλου» το οποίο χρησιμοποιείται σε όλη την έκταση της διατριβής και εξάγονται ακριβείς και προσεγγιστικές εκφράσεις των ολοκληρωτικών εξισώσεων, αναλόγως του πυρήνα (ακριβής - προσεγγιστικός) που χρησιμοποιείται. Οι προαναφερθείσες εκφράσεις είναι αληθείς για οιοδήποτε μοντέλο τροφοδοσίας. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με την παρουσίαση μεθόδων αριθμητικής επίλυσης των ανωτέρω εξισώσεων. Στο Κεφάλαιο 2 εξετάζεται διεξοδικά η αριθμητική επίλυση της HE για το μοντέλο της ΓΔΣ καθώς και θεμελιώδεις ιδιότητες των λύσεων της εξίσωσης αυτής. Η αριθμητική μέθοδος που χρησιμοποιείται είναι η μέθοδος Galerkin με παλμικές συναρτήσεις. Τα αριθμητικά αποτελέσματα με τον προσεγγιστικό πυρήνα, για την πεπερασμένη κεραία, παρουσιάζουν ταλαντώσεις στα άκρα και στο κέντρο αυτής. Οι παρατηρούμενες ταλαντώσεις πλησίον του σημείου τροφοδοσίας συσχετίζονται με την «μη επιλυσιμότητα» της ολοκληρωτικής εξίσωσης. Το τελευταίο επαληθεύεται με την εφαρμογή της αριθμητικής μεθόδου στην άπειρη κεραία και την εξαγωγή μιας ασυμπτωτικής έκφρασης που πιστοποιεί ποσοτικά και ποιοτικά τις προαναφερθείσες ταλαντώσεις. Ακολούθως, στο Κεφάλαιο 3, εξετάζονται εκτενώς οι εξισώσεις Hallén και Pocklington για το μοντέλο της ΓΠΔ. Για την περίπτωση του ακριβούς πυρήνα επικεντρώνουμε την μελέτη μας στο αν σημαντικά μεγέθη της κεραίας έχουν πεπερασμένη τιμή και τα συγκρίνουμε με τα αντίστοιχα μεγέθη της ΓΔΣ. Για τον προσεγγιστικό πυρήνα εστιάζουμε την ανάλυση μας στην μη επιλυσιμότητα των ολοκληρωτικών εξισώσεων και στον συσχετισμό αυτής με το φαινόμενο της παρουσίας μη φυσιολογικών ταλαντώσεων. Επιπρόσθετα, επεκτείνουμε την μέθοδο του «ενεργού ρεύματος», που έχει προταθεί και μελετηθεί σε προηγούμενες εργασίες, στο μοντέλο της ΓΠΔ. Πρόκειται για μία, απλή στην εφαρμογή, μέθοδο επεξεργασίας των ταλαντούμενων τιμών για την εξαγωγή λογικών αποτελεσμάτων που αφορούν σημαντικά στοιχεία της κεραίας όπως είναι η ρευματική κατανομή και η σύνθετη αντίσταση εισόδου. Επαληθεύεται ότι τα ανωτέρω μεγέθη είναι πολύ κοντά στα αντίστοιχα που προκύπτουν με τον ακριβή πυρήνα. Τέλος επιβεβαιώνεται ότι η μέθοδος του ενεργού ρεύματος είναι πιο αποδοτική στο μοντέλο της ΓΠΔ σε σχέση με την εφαρμογή της στην ΓΔΣ. Τέλος, στο Κεφάλαιο 4, η διδακτορική εργασία ολοκληρώνεται με την ενδελεχή μελέτη της προέλευσης και της φύσης των παρατηρούμενων ταλαντώσεων στα αριθμητικά αποτελέσματα που προκύπτουν με τον προσεγγιστικό πυρήνα. Εφαρμόζοντας την αριθμητική μέθοδο του Κεφαλαίου 3 στην PE για την άπειρη κεραία αποδεικνύεται, όπως και στην περίπτωση της ΓΔΣ, ότι οι αναφερόμενες ταλαντώσεις πλησίον του σημείου τροφοδοσίας της κεραίας είναι αποτέλεσμα της μη επιλυσιμότητας της ολοκληρωτικής εξίσωσης με τον προσεγγιστικό πυρήνα. Εν συνεχεία, οι ταλαντώσεις συσχετίζονται με το φαινόμενο της υπερκατευθυντικότητας και με αντίστοιχα φαινόμενα που παρατηρούνται στην Μέθοδο Βοηθητικών Πηγών (Method of Auxiliary Sources -MAS). Το κεφάλαιο 4 ολοκληρώνεται με την φυσική ερμηνεία του ενεργού ρεύματος μέσω της οποίας εξηγούνται πολλά από τα συμπεράσματα του Κεφαλαίου 3. Η ερμηνεία αυτή ισχύει επίσης και για το μοντέλο της ΓΔΣ.

In the present thesis we discuss certain fundamental properties of Hallén’s (HE) and Pocklington’s (PE) equations with the Finite-Gap Generator (FGG), which has long been used as a feed model for cylindrical antennas. These results are compared to corresponding ones for the Delta Function Generator model (DFG) that have been discussed in previous works. At first, in Chapter 1, a brief overview is provided of methods of current computation in linear antennas through integral equations. The model of “circular tubular antenna” is presented and exact/approximate integral equations are extracted depending on the choice of kernel (exact/approximate). These expressions are applicable for all choices of generator. Finally, numerical methods that are often applied to both forms of HE and PE are discussed. In Chapter 2, an extensive study of the Hallén integral equation for the current on a linear antenna center-driven by DFG is presented. Fundamental properties of the numerical solution are also discussed. The numerical method is Galerkin’s method with pulse functions. For the approximate kernel, unphysical oscillations, at the edges and at the centre of the finite antenna, are observed. These oscillations, near the driving point, are due to the “unsolvability” of the integral equation. This is verified by applying the numerical method to HE for the current on the infinite antenna and developing asymptotic expressions that can be used as a guide for the behavior of the solutions of the finite antenna. Subsequently, in Chapter 3, certain fundamental properties of Hallén’s and Pocklington’s equations with the FGG are examined. For the case of the exact kernel, we focus on whether important quantities are finite or infinite and compare to corresponding quantities obtained using the DFG. For the approximate kernel, we focus on the “unsolvability” of the two equations and the relation of “unsolvability” to the important phenomenon of unphysical oscillations. We also extend to the FGG the so-called effective-current method; this is an easy-to-apply remedy for the oscillatory solutions that allows one to obtain reasonable answers for important quantities such as current distributions and the input impedance. It is shown here that these answers are close to those obtained with the exact kernel. We show that, in a certain sense, the method is more advantageous to apply in the present (FGG) case than in the DFG case. Finally, in Chapter 4, our thesis ends with a more careful examination of the origin and nature of oscillations occurring with the approximate kernel. These oscillations, near the driving point, are also due to the “unsolvability” of the approximate integral equation, such as in DFG case. This is shown by applying the numerical method of Chapter 3 to PE for the current on the infinite length antenna. Next, we point out certain analogies to the Method of Auxiliary Sources (MAS) and to superdirectivity. We also provide a new physical interpretation of the effective-current method that explains a number of the findings in Chapter 3. This interpretation is also applicable to the case of the delta-function generator.