Το πρόβλημα σχεδίασης παρατηρητή για μη γραμμικά συστήματα

Abstract

Η εύρεση ικανών και αναγκαίων συνθηκών για την ύπαρξη και σχεδίαση παρατηρητή αποτελεί κεντρικό πρόβλημα της θεωρίας ελέγχου και τις τελευταίες δεκαετίες έχουν εξαχθεί σημαντικά αποτελέσματα.

Στην παρούσα διατριβή επιλύεται το πρόβλημα σχεδίασης παρατηρητή για ορισμένες κατηγορίες χρονικώς μεταβαλλόμενων μη γραμμικών συστημάτων. Τα αποτελέσματα αφορούν πρωτίστως σε δυο υποκατηγορίες χρονικώς μεταβαλλόμενων τριγωνικών συστημάτων.

Για την πρώτη περίπτωση τριγωνικών συστημάτων, αποδεικνύεται ότι κάτω από ασθενείς υποθέσεις, το πρόβλημα σχεδίασης παρατηρητή είναι επιλύσιμο μέσω μιας διακοπτόμενης (switching) ακολουθίας μη αιτιατών (εν γένει) δυναμικών συστημάτων (παρατηρητών) που καθιστά δυνατή την εκτίμηση της κατάστασης του συστήματος. Το εν λόγω αποτέλεσμα, βασίζεται σε ένα γενικότερο αποτέλεσμα επίλυσης του προβλήματος σχεδίασης παρατηρητή, που αφορά σε σύνθετα συστήματα. Μεταξύ των άλλων, αποδεικνύεται ότι μια γενική υπόθεση “ανιχνευσιμότητας” για το σύνθετο σύστημα, εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας ακολουθίας μη αιτιατών παρατηρητών, που καθιστά δυνατή την επίλυση του προβλήματος.

Η δεύτερη περίπτωση αφορά σε τριγωνικά συστήματα που έχουν εν γένει μη παρατηρήσιμη γραμμικοποίηση στα ενδεχόμενα σημεία ισορροπίας. Τα αποτελέσματα βασίζονται πάλι στην ιδέα χρήσης μιας διακοπτόμενης ακολουθίας παρατηρητών και γενικεύουν την μεθοδολογία που εφαρμόζεται στην πρώτη περίπτωση.

Σημειώνεται ότι, σύμφωνα με τη μεθοδολογία που υιοθετείται στην παρούσα διατριβή, η εκτίμηση της κατάστασης επιτυγχάνεται μέσω ενός παρατηρητή τύπου Luenberger, όταν είναι εκ των προτέρων γνωστό, ότι η αρχική κατάσταση του συστήματος ανήκει σε ένα μη κενό και φραγμένο υποσύνολο του χώρου κατάστασης, ενώ στη γενική περίπτωση, η εκτίμηση της κατάστασης επιτυγχάνεται με τη χρήση μιας διακοπτόμενης ακολουθίας παρατηρητών.

Τα ανωτέρω αποτελέσματα αποτελούν γενικεύσεις σχετικών αποτελεσμάτων από τη διεθνή βιβλιογραφία, κυρίως σε ότι αφορά τη σχεδίαση παρατηρητή για τριγωνικά συστήματα. Η καινοτομία τους συνίσταται μεταξύ άλλων στις ασθενείς υποθέσεις που επιβάλλονται στα δυναμικά των συστημάτων που μελετώνται, καθώς και στην ιδέα χρήσης της “διακοπτόμενης” ακολουθίας παρατηρητών για την εκτίμηση της κατάστασης.

The observer design problem plays a central role in mathematical control theory with several important contributions during the past decades.

The subject of the thesis is the solvability of the observer design problem for certain classes of nonlinear time-varying systems. The results deal primarily with two subclasses of time-varying triangular systems.

For the first case of triangular systems, it is shown that under weak assumptions, the observer design problem is solvable by means of a switching sequence of noncausal (in general) dynamical systems (observers) which establishes the estimation of the system’s state. That result is based on a general result concerning the solvability of the observer design problem for composite systems. Among other assumptions, a general “detectability” condition guarantees the existence of switching sequence of noncausal obsrevers, achieving the asymptotic estimation of the system’s state.

In the second case, triangular systems with unobservable linearization at their potential equilibrium are considered. The results are again based on the idea of using a switching sequence of observers and generalize the techniques employed in the first case.

It is noted, that according to the methodology applied in this thesis, the state estimation is achieved by means of a Luenberger type observer for the case where it is a priori known that the initial states of the systems belong to a given nonempty subset of the state space and for the general case, it is shown that the state estimation is exhibited by using a switching sequence of obsrevers.

The aforementioned results, generalize corresponding results from the literature, in particular those concerning triangular systems. Their novelty consists among other things, in the weak assumptions imposed on the dynamics of the systems and the use of a “switching” sequence of observers for the state estimation.