Μελέτη του λάθους πεπερασμένης ακρίβειας σε σημαντικούς αλγόριθμους

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάται η γένεση και διάδοση του αριθμητικού λάθους πεπερασμένης ακρίβειας, δηλαδή, του αριθμητικού λάθους που οφείλεται στο γεγονός ότι όλες οι παραστάσεις των αριθμών και οι μεταξύ τους πράξεις γίνονται στον υπολογιστή με περασμένο αριθμό ψηφίων. Αρχικά, πραγματοποιήθηκε μελέτη και κατανόηση μίας νέας σχετικής μεθοδολογίας που έχει αναπτύξει ο επιβλέπων καθηγητής και η ερευνητική του ομάδα. Εν συνεχεία, αυτή η μεθοδολογία εφαρμόστηκε για πρώτη φορά στη μελέτη της γένεσης και διάδοσης του λάθους πεπερασμένης ακρίβειας στους πολύ σημαντικούς αλγορίθμους υπολογισμού των Zernike Moments. Συγκεκριμένα, μελετήθηκαν οι πέντε δημοφιλέστεροι αναδρομικοί αλγόριθμοι υπολογισμού αυτών των ποσοτήτων. ιαπιστώθηκε ότι η μέθοδος έδινε τον ακριβή αριθμό λανθασμένων ψηφίων με τον οποίον κάθε ποσότητα του εκάστοτε αλγορίθμου υπολογιζόταν. Η μελέτη που πραγματοποιήσαμε κατέδειξε επίσης, ότι μόνο συγκεκριμένοι τύποι σε κάθε αλγόριθμο είναι οι κύριες και καθοριστικές πηγές γένεσης του λάθους πεπερασμένης ακρίβειας. ιεφάνη επίσης και κατενοήθη, γιατί τα αποτελέσματα των αλγορίθμων αυτών καθίστανται εντελώς αναξιόπιστα από μία τάξη αναδρομής και άνω. Τέλος, έγινε συγκριτική μελέτη της συμπεριφοράς των τριών κυριοτέρων και πλέον εξελιγμένων μορφών των αλγορίθμων υπολογισμού των Zernike Moments. Αυτή η σύγκριση υπέδειξε ότι ο πλέον ανθεκτικός σε βάθος τάξης αναδρομών αλγόριθμος είναι ο Q-recursive,ενώ οι αλγόριθμοι Kintner και Prata εμφάνιζαν σαφώς αυξημένη μέση τιμή λάθους σε όλες τις αναδρομές. Η παρούσα εργασία υποδεικνύει και το δρόμο για τη διόρθωση αυτού του αριθμητικού λάθους ή και τη σταθεροποίηση κάποιου αλγορίθμου Zernike Moments, γεγονός που έχει μεγάλη θεωρητική και πρακτική αξία.

In the present dissertation, a study of the generation and propagation of the finite precision error in iterative algorithms is undertaken. The finite precision error is due to the fact that all numbers in a contemporary computing machine are represented with a limited number of digits; in addition, all operations are executed with the same limitation. First, a bibliographical research was undertaken, mainly in connection with a new methodology for the study the finite precision error, which has been developed by the tutoring professor and his research team. Next, this methodology has been for the first time applied to the study of the generation and propagation of the finite precision error in the very important class of algorithms that compute the Zernike Moments. In fact, the five more popular iterative algorithms for the computation of these moments has been studied. It has been shown that the employed method offered the exact number of erroneous digits with which each quantity of these algorithms was computed in every iteration. The perform study and the related analysis manifest that only a limited number of formulae in each algorithm are decisively responsible for the generation of the finite precision error. The performed experiments and the related analysis also clarified why these algorithms fail after a certain number of iterations. In the dissertation, it has been also undertaken a comparative study of the finite precision error in the three more advanced versions iterative algorithms for the Zernike Moments computation. This comparison has shown that the more robust algorithm is the q-recursive one. The other two schemes, namely the Kintner algorithm and the Prata one, presented a higher mean value of erroneous digits practically in all iterations. Finally, this dissertation may open the way for remedying this finite precision error, so as to develop an algorithm that remains robust and stable for a large number of iterations.