Develpoment of methods for topology and shape optimization of mechanical structures

Abstract

Το αντικείμενο της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής, όπως άλλωστε δηλώνει και ο τίτλος της, είναι η μελέτη και ανάπτυξη μεθοδολογιών βελτιστοποίησης τοπολογίας και σχήματος μηχανολογικών κατασκευών. Για την καλύτερη περιγραφή τόσο του περιεχόμενου όσο και του αντικειμενικού σκοπού της παρούσης, κρίνεται σκόπιμη μία σύντομη ετυμολογική ερμηνεία των όρων του τίτλου αυτής. Ειδικότερα, ο όρος ‘μεθοδολογία’ δηλώνει την αναφορά (λόγος) σε ‘μέθοδο’, δηλαδή σε δρόμο (οδός) αναζήτησης και επιδίωξης της γνώσης. Ο όρος ‘βέλτιστος’ αποτελεί τον υπερθετικό βαθμό του επιθέτου ‘αγαθός’, δηλαδή ‘άξιος’. Ο όρος ‘κατασκευή’ έχει ως δεύτερο συνθετικό τη λέξη ‘σκευή’ που σημαίνει ενδυμασία, στολή. Ο επιθετικός προσδιορισμός ‘μηχανολογική’ χαρακτηρίζει την κατασκευή και δηλώνει ότι αυτή σχετίζεται με την μετατροπή ενέργειας από μία μορφή σε μία άλλη. Τέλος, οι όροι ‘τοπολογία’ και ‘σχήμα’ αφορούν στην (εξωτερική) μορφή που μπορεί να λάβει μία εφεύρεση/επινόηση που σχετίζεται με την μετατροπή ενέργειας (μηχανή). Συνεπώς, σε ελεύθερη απόδοση, στην παρούσα Διδακτορική Διατριβή γίνεται λόγος για αναζήτηση τρόπων, μέσω των οποίων επιδιώκεται η εύρεση της πλέον κατάλληλης μορφής την οποία μπορεί να λάβει μία μηχανή. Ισοδύναμα, αναζητείται ο καλύτερος τρόπος διαστασιολόγησης και συνδεσμολογίας ενός συνόλου δομικών στοιχείων, έτσι ώστε να καθίσταται ασφαλής η, για συγκεκριμένο σκοπό, χρήση του. Το κριτήριο για την επιλογή της πλέον κατάλληλης μορφής, ανάμεσα από ένα, θεωρητικώς άπειρο, πλήθος δυνατών σχεδιάσεων, πρέπει να είναι μία ποσότητα άκρως αντιπροσωπευτική και χαρακτηριστική για κάθε σχεδίαση. Το συνολικό κατασκευαστικό κόστος μπορεί και ενδείκνυται να χρησιμοποιείται ως τέτοια ποσότητα, δεδομένου ότι σε αυτό συμπεριλαμβάνονται τόσο ο βαθμός δυσκολίας υλοποίησης της εκάστοτε σχεδίασης όσο και ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση της κατασκευής. Ωστόσο, ο υπολογισμός του συνολικού κατασκευαστικού κόστους αποτελεί μία εξαιρετικά σύνθετη διαδικασία, το τελικό αποτέλεσμα της οποίας δεν είναι σταθερό αλλά, αντιθέτως, μεταβάλλεται ανάλογα με τις εκάστοτε τιμές που έχουν διάφορες οικονομικές παράμετροι, όπως το κόστος μεταφοράς και τα επιτόκια. Για αυτόν το λόγο και σε πρακτικές εφαρμογές Μηχανικού, αντί του συνολικού κατασκευαστικού κόστους, προτιμάται ο υπολογισμός της ποσότητας του υλικού (είτε ως βάρος είτε ως όγκος) που πρέπει να χρησιμοποιηθεί για την υλοποίηση μίας σχεδίασης. Αν και πρόκειται για ένα αντιπροσωπευτικό μέγεθος, τονίζεται όλως ιδιαιτέρως ότι η επίτευξη της ελαχιστοποίησης του βάρους (ή του όγκου) του υλικού δεν συνεπάγεται πάντοτε και ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους. Αυτό είναι ιδιαίτερα αληθές σε περιπτώσεις στις οποίες πρέπει να χρησιμοποιηθούν δομικά στοιχεία τυποποιημένων (διακριτών) διαστάσεων, όπως συμβαίνει στους συγκολλητούς φορείς γερανογεφυρών και στις δεξαμενές αποθήκευσης πετρελαιοειδών. Είναι προφανές ότι η ελάχιστη ποσότητα της ύλης που πρέπει να χρησιμοποιηθεί σε μία κατασκευή εξαρτάται από τους περιορισμούς που επιβάλλονται στην συμπεριφορά αυτής υπό την εφαρμογή συγκεκριμένων εξωτερικών αιτίων. Τέτοιοι περιορισμοί είναι μέγιστες τιμές τασικού και παραμορφωσιακού πεδίου, μέγιστες τιμές βελών κάμψης, ελάχιστες τιμές κρισίμων φορτίων λυγισμού, ελάχιστες τιμές συχνοτήτων κ.α. Η περιοχή της βελτιστοποίησης μηχανολογικών κατασκευών έχει τεράστια πρακτική αξία σε πολλούς τομείς. Μερικοί εκ των σημαντικότερων τομέων είναι η αυτοκινητοβιομηχανία, η αεροπορική και η διαστημική βιομηχανία, η ναυπηγική βιομηχανία και γενικά ο χώρος των μεταλλικών και των ελαφρών κατασκευών. Εκτός της πρακτικής αξίας της, η βελτιστοποίηση μηχανολογικών κατασκευών παρέχει εξαιρετικές προκλήσεις σε επίπεδο τόσο Θεωρητικής όσο και Υπολογιστικής Μηχανικής. Ως εκ τούτου, δεν είναι απορίας άξιον το γεγονός ότι έχει αποτελέσει πεδίο ενδελεχούς έρευνας και συστηματικής μελέτης κυρίως τα τελευταία 60 χρόνια, δηλαδή από την εποχή γένεσης της Υπολογιστικής Μηχανικής. Είναι πρόδηλο ότι μέσα σε αυτές τις έξι δεκαετίες, χιλιάδες Μηχανικοί και, γενικότερα, Ερευνητές, είτε μέσα από το Ακαδημαϊκό περιβάλλον είτε μέσα από κάποιον δημόσιο ή ιδιωτικό φορέα/βιομηχανία, έχουν συμβάλλει στο συγκεκριμένο ερευνητικό πεδίο με το προσωπικό τους έργο, το οποίο, συνολικά, έχει αποτυπωθεί σε χιλιάδες βιβλία και εκατομμύρια δημοσιεύσεων σε έγκριτα επιστημονικά περιοδικά. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο, το εύλογο ερώτημα που ανακύπτει είναι τι θα μπορούσε να προσφέρει μία ακόμα Διδακτορική Διατριβή σε ένα πεδίο που έχει διερευνηθεί τόσο πολύ, από τόσο πολλούς και για τόσο μακρύ χρονικό διάστημα. Το ερώτημα αυτό καθίσταται ακόμα πιο οξύ, εάν σε αυτό προστεθεί τόσο η γενικότερη αίσθηση της επιστημονικής κοινότητας ότι, λίγο έως πολύ, ο,τιδήποτε υπήρχε να ειπωθεί στη βελτιστοποίηση έχει ήδη ειπωθεί όσο και η άποψη ότι η γνώση σχετικά με τη βελτιστοποίηση κατασκευών έχει χαθεί μέσα στα χρόνια, δηλαδή ότι οι νεώτεροι απλά ανακαλύπτουν εκ νέου θεωρίες και απόψεις που κάποτε είχαν, έστω και σε πρωτόλεια μορφή, διατυπωθεί. Η απάντηση στο ερώτημα ‘προς τι ετούτη η Διατριβή’ είναι εξαιρετικά απλή και ταυτόσημη με την απάντηση στο ίδιο ερώτημα που θα μπορούσε να είχε τεθεί 10 ή και 20 χρόνια νωρίτερα. Η εσφαλμένη αίσθηση σχετικά με τον κορεσμό και την εξάντληση ενός επιστημονικού πεδίου απλά διαψεύδεται, όχι καθημερινά, αλλά σε τακτά χρονικά διαστήματα, είτε με εντελώς νέες ανακαλύψεις είτε με νέες παραλλαγές πάνω σε ήδη υπάρχουσες θεωρίες. Αν με τις πρώτες επιτυγχάνεται ‘ένα τεράστιο άλμα για την ανθρωπότητα’, με τις δεύτερες επιτυγχάνεται ‘ένα μικρό βήμα για τον άνθρωπο’, το οποίο κάποια στιγμή σίγουρα θα οδηγήσει σε ένα μεγαλύτερο βήμα και γιατί όχι σε ένα τεράστιο άλμα. Άλλωστε μία από τις βασικές αρχές του Μηχανικού είναι ‘ένα βήμα κάθε φορά’ (‘one step at a time’). Μάλιστα, από φιλοσοφική άποψη, η έμπνευση, ακρογωνιαίος λίθος για την πραγματοποίηση αλμάτων, θα έλθει σε κάποια στιγμή κατά την οποία, μέσα από την συστηματική ποσοτική και ποιοτική εργασία, ιδέες θα έχουν ωριμάσει. Όπως άλλωστε έχει ειπωθεί, ‘η έμπνευση είναι μία πολύ περίεργη κυρία, η οποία δεν θα σε προειδοποιήσει, όταν κάποτε αποφασίσει να σε επισκεφθεί, γι’ αυτό κι εσύ θα πρέπει να είσαι στο γραφείο σου’. Εκτός αυτού, πάντοτε υπάρχει το περιθώριο περαιτέρω έρευνας πάνω σε θέματα τα οποία έχουν ήδη προσεγγιστεί ίσως με έναν πιο χονδροειδή τρόπο, οπότε προσεγγίσεις που ενδεχομένως και να έχουν παρουσιασθεί κάποτε στο παρελθόν είναι δυνατόν να διατυπωθούν εκ νέου σε ένα πιο πλήρες και στιβαρό πλαίσιο. Κάτι τέτοιο προφανώς δεν ακυρώνει την πρωτογενή διατύπωση, χωρίς την οποία δεν θα υπήρχε το υλικό για την νεώτερη προσέγγιση, αλλά ούτε μειώνει τη νεώτερη προσέγγιση, χωρίς την οποία η αρχική διατύπωση θα παρέμενε σημαντικά μικρότερη σε εμβέλεια και ισχύ. Τέλος, δεν πρέπει να λησμονείται ότι ο σκοπός μίας Διδακτορικής Διατριβής δεν είναι άλλος από την πραγματοποίηση μίας συστηματικής, αυτοδύναμης και εμπεριστατωμένης έρευνας σε ένα θεματικό πεδίο, η οποία καταλήγει σε μία συγκεκριμένη συνεισφορά και σαφώς δεν αποσκοπεί στην ανακάλυψη του αεικίνητου. Μέσα στο προαναφερθέν ρεαλιστικό πλαίσιο, η παρούσα εργασία αποτελεί μέρος του έργου του γράφοντος από το 2000 στο Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου υπό την διαρκή επίβλεψη και άοκνη καθοδήγηση του Καθηγητή Χρ. Γ. Προβατίδη. Ο κεντρικός θεματικός πυρήνας της αφορά στην βελτιστοποίηση της τοπολογίας και του σχήματος μηχανολογικών κατασκευών συνεχούς μέσου. Ακολουθήθηκαν δύο προσεγγίσεις των εν λόγω κατασκευών. Στην πρώτη χρησιμοποιήθηκαν σκελετικές κατασκευές (δηλαδή το συνεχές μέσο αντικαταστάθηκε από μία σκελετική, άρα διακριτή, κατασκευή) και στη δεύτερη το συνεχές μέσο αντιμετωπίσθηκε ως τέτοιο. Η βελτιστοποίηση των σκελετικών κατασκευών στηρίχθηκε στη δημιουργία ενός πλέγματος ραβδόμορφων στοιχείων, με το οποίο υποκαταστάθηκε το συνεχές μέσο. Οι διατομές των στοιχείων αυτών υποβλήθηκαν σε μία διαδικασία επαναδιαστασιολόγησης σύμφωνα με τρόπους που προέκυψαν μέσα από ενεργειακές θεωρήσεις. Ακρογωνιαίος λίθος στην όλη προσέγγιση αποτέλεσε η έννοια της πυκνότητας της ενέργειας παραμόρφωσης καθώς και της πυκνότητας της δυνατής συμπληρωματικής ενέργειας παραμόρφωσης. Η μεταβολή της τοπολογίας επετεύχθη μέσα από συστηματική αλλαγή του λόγου πλευρών (aspect ratio) του προαναφερθέντος πλέγματος. Η συνδυασμένη αξιοποίηση της επαναδιαστασιολόγησης και της αλλαγής της τοπολογίας, είτε μέσα σε ένα σχήμα σειριακής εκτέλεσης διαδικασιών είτε μέσα στο πλαίσιο μίας ιεραρχικής βελτιστοποίησης, παρείχε την καλύτερη δυνατή λύση. Προς αυτήν την κατεύθυνση, αναπτύχθηκε και ένας αλγόριθμος ‘ομαδοποίησης και διαγραφής’, έτσι ώστε να μειωθεί και το πλήθος των δομικών στοιχείων της βέλτιστης σχεδίασης αλλά και η ανομοιογένεια μεταξύ των στοιχείων αυτών, ως προς το εμβαδόν των διατομών τους, συμβάλλοντας με τον τρόπο αυτό στην ελαχιστοποίηση όχι μόνον του βάρους αλλά και του κόστους της κατασκευής. Οι ενεργειακές θεωρήσεις που αναπτύχθηκαν, στηρίχθηκαν στην εφαρμογή της Μεθόδου των πολλαπλασιαστών Lagrange σε κατάλληλη διατύπωση του αντιστοίχου προβλήματος βελτιστοποίησης. Με τον τρόπο αυτό προέκυψαν ενεργειακές προτάσεις που ισχύουν στην βέλτιστη σχεδίαση. Διευκρινίζεται ότι σκελετικές κατασκευές εξετάσθηκαν και στις δύο και στις τρεις διαστάσεις. Η βελτιστοποίηση κατασκευών συνεχούς μέσου, θεωρώντας τες ως τέτοιες, διακρίθηκε σε δύο στάδια. Κατά το πρώτο στάδιο εξετάσθηκε το πρόβλημα βελτιστοποίησης στις δύο διαστάσεις (ψευδο-τρισδιάστατη κατάσταση), ενώ κατά το δεύτερο στάδιο αντιμετωπίστηκε το αντίστοιχο πρόβλημα στις τρεις διαστάσεις. Και σε αυτά τα προβλήματα βελτιστοποίησης, αναπτύχθηκαν ενεργειακές θεωρήσεις βάσει της Μεθόδου των πολλαπλασιαστών Lagrange, καταλήγοντας σε ενεργειακές προτάσεις που ισχύουν στην βέλτιστη σχεδίαση. Η κεντρική ιδέα σε αυτές τις περιπτώσεις ήταν η ενεργειακή αξιολόγηση (βαθμολόγηση) της συμμετοχής υλικού στην παραλαβή των εξωτερικώς ασκουμένων φορτίων, είτε σε επίπεδο πεπερασμένου στοιχείου είτε σε επίπεδο κόμβου πλέγματος, και η αντίστοιχη προσθήκη ή αφαίρεση υλικού υπό την μορφή κατάλληλης μεταβολής του πάχους της κατασκευής, είτε σε επίπεδο πεπερασμένου στοιχείου είτε σε επίπεδο κόμβου πλέγματος. Η μεταβολή πάχους υπαγορευόταν από τις προαναφερθείσες ενεργειακές προτάσεις. Συνοψίζοντας, στην παρούσα Διδακτορική Διατριβή:  συγκεντρώθηκαν οι βασικότερες προσεγγίσεις στο πεδίο της βελτιστοποίησης μηχανολογικών κατασκευών, με έμφαση στην βελτιστοποίηση της τοπολογίας και του σχήματος αυτών,  εξετάσθηκε πλήθος χαρακτηριστικών βιβλιογραφικών παραδειγμάτων προς βαθύτερη κατανόηση των εν λόγω θεωριών και αποκάλυψη σημείων που έχρηζαν βελτίωσης,  εισήχθησαν νέοι δείκτες απόδοσης προς πληρέστερη αξιολόγηση των εκάστοτε μεθοδολογιών βελτιστοποίησης,  διατυπώθηκαν, επί συγκεκριμένων θεωριών, παραλλαγές οι οποίες εμφάνισαν βελτιωμένη απόδοση συγκριτικά με τις αρχικές προσεγγίσεις,  αναπτύχθηκαν νέα αριθμητικά σχήματα βελτιστοποίησης,  συντάχθηκαν κώδικες σε FOTRAN, σε MatLab και σε APDL (ενσωματωμένη γλώσσα προγραμματισμού στο εμπορικό λογισμικό Ansys) και τέλος Ωστόσο, η μεγαλύτερη συνεισφορά της παρούσης Διδακτορικής Διατριβής έγκειται στην επιτυχή αντιμετώπιση δύο κατηγοριών προβλημάτων βελτιστοποίησης. Πιο συγκεκριμένα, στη διεθνή βιβλιογραφία, ήδη από τις αρχές της δεκαετίας του ’70, είναι γνωστή η επίλυση του ειδικού προβλήματος της ελαχιστοποίησης βάρους μίας κατασκευής υπό την επιβολή ενός περιορισμού κομβικής μετατόπισης, αλλά υπό την αυστηρή προϋπόθεση ότι ο υπό περιορισμό κόμβος, ή ακριβέστερα ο υπό περιορισμό βαθμός ελευθερίας, είναι εκ των προτέρων γνωστός (single displacement constraint problem). Στην παρούσα Διδακτορική Διατριβή επελύθη η γενίκευση του εν λόγω προβλήματος, κατά την οποία θεωρείται μεν ότι στη βέλτιστη σχεδίαση είναι ενεργός ένας περιορισμός μετατόπισης αλλά χωρίς να είναι εκ των προτέρων γνωστό σε ποιο βαθμό ελευθερίας αυτός ο περιορισμός τελικά επιβάλλεται. Η επίλυση επετεύχθη μέσα από τη διατύπωση μίας πρωτότυπης, ενεργειακής φύσεως μεθοδολογίας, η οποία στηρίζεται στη μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange, αλλά, σε αντίθεση με τις υπάρχουσες διεθνώς δημοσιευμένες θεωρήσεις, τελικώς παρακάμπτεται ο υπολογισμός τέτοιου τύπου πολλαπλασιαστών. Κατ’ επέκταση του ανωτέρω προβλήματος, διατυπώθηκε η θεωρητική λύση του αντιστοίχου προβλήματος της επιβολής περιορισμού τάσης, κατά το οποίο θεωρείται μεν ότι στη βέλτιστη σχεδίαση είναι ενεργός ένας περιορισμός τάσης, αλλά χωρίς να είναι εκ των προτέρων γνωστό το δομικό μέλος στο οποίο ο εν λόγω περιορισμός τελικά επιβάλλεται. Και πάλι, η επίλυση στηρίχθηκε στη μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange, χωρίς τελικά να απαιτείται ο υπολογισμός τέτοιων πολλαπλασιαστών. Σε αντίθεση με τις διεθνώς δημοσιευμένες θεωρήσεις, η συγκεκριμένη προσέγγιση προκύπτει μέσα από ένα αυστηρά μαθηματικό πλαίσιο και περιγράφει την ενεργειακή κατάσταση της βέλτιστης σχεδίασης, χωρίς παραδοχές σχετιζόμενες με την υπερστατικότητα της κατασκευής. Γι’ αυτόν το λόγο υπερτερεί της εξαιρετικώς διαδεδομένης και γνωστής τεχνικής stress-ratio, βάσει της οποίας προκύπτει μία σχεδίαση πλήρους εντάσεως (Fully Stressed Design), δηλαδή μία σχεδίαση στην οποία επιδιώκεται όλα τα δομικά της μέλη να εμφανίσουν τάση ίση με την μέγιστη επιτρεπόμενη, κάτι που μαθηματικά αποδεικνύεται ότι δεν αντιστοιχεί σε ελάχιστο βάρος, παρά μόνον υπό αυστηρές και συγκεκριμένες προϋποθέσεις. Αναφορικά με την διάρθρωση της παρούσας, στο 1ο Κεφάλαιο διατυπώνεται το γενικευμένο πρόβλημα της ελαχιστοποίησης του βάρους κατασκευών και παρουσιάζονται οι βασικότερες ‘Σχολές’ βελτιστοποίησης τοπολογίας και σχήματος μηχανολογικών κατασκευών. Ειδικότερα, γίνεται αναφορά στην εφαρμογή γενικών αιτιοκρατικών μαθηματικών μεθοδολογιών βελτιστοποίησης, οι πιο αντιπροσωπευτικές από τις οποίες παρατίθενται με τρόπο συνοπτικό και προσανατολισμένο προς το πρόβλημα της βελτιστοποίησης κατασκευών. Στο ίδιο μήκος κύματος κινείται και η παρουσίαση των πλέον αντιπροσωπευτικών στοχαστικών μεθοδολογιών βελτιστοποίησης. Ακολουθεί η διατύπωση μεθοδολογιών που στηρίζονται στα επονομαζόμενα Βέλτιστα Κριτήρια, δηλαδή σε προτάσεις που περιγράφουν την ενεργειακή ή άλλη κατάσταση που επικρατεί στην βέλτιστη σχεδίαση, ενώ στη συνέχεια αναφέρονται οι μεθοδολογίες COC και DCOC που αναπτύχθηκαν υπό την καθοδήγηση και εποπτεία του G.I.N. Rozvany, του άξιου μαθητή και συνεχιστή του έργου του W. Prager. Στο ίδιο κεφάλαιο παρατίθενται συνοπτικά η προσέγγιση του τεχνητού υλικού (artificial material) του Ν. Olhoff, αναπτύσσεται η θεωρία ομογενοποίησης (Homogenization theory) που εισήγαγε ο Ν. Kikuchi, καταγράφεται η προσέγγιση του M.P. Bendsøe (μοντέλο SIMP), αναφέρεται η μέθοδος των Μετακινουμένων Ασυμπτώτων (Method of Moving Asymptotes) του C. Svanberg και, τέλος, περιγράφεται η μέθοδος των φυσαλίδων (Bubble method) του H. Eschenauer. Ιδιαίτερη αναφορά γίνεται στην μέθοδο Evolutionary Structural Optimization (ESO) των Steven και Xie. Στο ίδιο κεφάλαιο γίνεται μνεία στη χρήση των Νευρωνικών Δικτύων, των μη-πλεγματικών μεθόδων και στην τεχνική Design Of Experiment (DOE). Στο 2ο Κεφάλαιο παρατίθεται μία ενδελεχής ενασχόληση με τις κυριότερες άμεσες μεθοδολογίες βελτιστοποίησης (αιτιοκρατικές και στοχαστικές), οι οποίες και αξιολογήθηκαν μέσα από μία εκτενή σειρά βιβλιογραφικών παραδειγμάτων (μαθηματικές συναρτήσεις και δικτυώματα). Επίσης, παρουσιάζεται μία πρωτότυπη υβριδική μέθοδος κατά την οποία μία αιτιοκρατική διαδικασία (μέθοδος Powell) συνδυάστηκε κατάλληλα με μία στοχαστική διαδικασία (μέθοδος Προσομοιούμενης Ανόπτησης) προς επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης μετά περιορισμών. Στο 3ο Κεφάλαιο πραγματοποιείται μία ενεργειακής θεώρησης προσέγγιση του προβλήματος βελτιστοποίησης κατασκευών που αφορά στην μερική ή ολική αφαίρεση υλικού από ένα συνεχές μέσο, με σκοπό την ελαχιστοποίηση του βάρους. Στο ίδιο κεφάλαιο, διατυπώνεται και σχολιάζεται το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του βάρους μίας κατασκευής υπό έναν περιορισμό ανάπαλσης καθώς και το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του βάρους μίας κατασκευής, όταν αυτή βρίσκεται σε πλήρη ένταση (Fully Stress Design – FSD). Στο 4ο Κεφάλαιο εξετάζεται το πρόβλημα της βελτιστοποίησης μίας κατασκευής, όταν χρησιμοποιείται η σχεδίαση πλήρους εντάσεως. Αρχικά, αντιμετωπίζονται σκελετικές κατασκευές που αντικαθιστούν το συνεχές μέσο, ενώ στη συνέχεια αντιμετωπίζεται το συνεχές μέσο ως τέτοιο. Ειδικότερα, διατυπώνονται δύο προσεγγίσεις: η πρώτη αφορά σε επανασχεδίαση σε επίπεδο πάχους πεπερασμένων στοιχείων και η δεύτερη αφορά σε επανασχεδίαση σε επίπεδο ανεξάρτητης μετακίνησης κόμβων του πλέγματος, ακόμα και εάν αυτοί ανήκουν στο ίδιο πεπερασμένο στοιχείο. Στη συνέχεια εξετάζεται η εφαρμογή της μεθόδου FSD και ESO στην περίπτωση πλακών, ενώ, τέλος, εξετάζεται το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης του βάρους 3Δ κατασκευών συνεχούς μέσου με ολική αφαίρεση πεπερασμένων στοιχείων, σύμφωνα με μία βιβλιογραφική μέθοδο, που χρησιμοποιήθηκε ως αναφορά, και σύμφωνα με μία προτεινόμενη παραλλαγή αυτής, η οποία προέκυψε ότι οδηγεί σε ανώτερες σχεδιάσεις και με λιγότερες επαναλήψεις. Τέλος, διατυπώνεται η θεωρητική λύση της γενικευμένης θεώρησης του προβλήματος της βελτιστοποίησης μίας κατασκευής, όταν επιβάλλεται ένας περιορισμός τάσης. Στο 5ο Κεφάλαιο εξετάζεται η γενικευμένη θεώρηση του προβλήματος της βελτιστοποίησης μίας κατασκευής, όταν επιβάλλεται ένας περιορισμός μετατόπισης. Διατυπώνεται μία πρωτότυπη μεθοδολογία βάσει της οποίας είναι δυνατή η αντιμετώπιση τόσο ισοστατικών όσο και υπερστατικών σκελετικών κατασκευών, οι οποίες χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση συνεχών μέσων, σύμφωνα με την κλασσική θεώρηση του προβλήματος βέλτιστης κατανομής υλικού. Στο 6ο Κεφάλαιο εξετάζεται η επέκταση της θεώρησης που παρουσιάστηκε στο 5ο Κεφάλαιο, σε προβλήματα 2Δ συνεχών μέσων, τα οποία αντιμετωπίζονται ως τέτοια. Και πάλι, εξετάζονται δύο προσεγγίσεις. Σύμφωνα με την πρώτη προσέγγιση, η επανασχεδίαση του συνεχούς μέσου επιτυγχάνεται σε επίπεδο πάχους πεπερασμένων στοιχείων, ενώ σύμφωνα με την δεύτερη προσέγγιση, η επανασχεδίαση επιτυγχάνεται μέσω της ανεξάρτητης μετακίνησης κόμβων του πλέγματος, ακόμα και εάν αυτοί ανήκουν στο ίδιο πεπερασμένο στοιχείο. Επίσης, εξετάζεται η επανασχεδίαση σύμφωνα με την μέθοδο ESO (ολική αφαίρεση πεπερασμένων στοιχείων) και σύμφωνα με μία προτεινόμενη παραλλαγή της μεθόδου, η οποία προέκυψε ότι οδηγεί σε ανώτερες σχεδιάσεις, ενώ απαιτεί και λιγότερες επαναλήψεις. Στο 7ο Κεφάλαιο εξετάζεται το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης του κόστους μίας μηχανολογικής κατασκευής, μέσα από την επιδίωξη της ελαχιστοποίησης του βάρους της κατασκευής και την ταυτόχρονη επιδίωξη της μεγιστοποίησης της κοινοτυπίας της ίδιας κατασκευής. Για τον σκοπό αυτό, παρουσιάζεται μία πρωτότυπη διαδικασία ομαδοποίησης και διαγραφής δομικών στοιχείων σε σκελετικές κατασκευές. Επίσης, εξετάζεται η ελαχιστοποίηση του κόστους κατασκευής δεξαμενών αποθήκευσης πετρελαιοειδών ως παράδειγμα ελαχιστοποίηση του κόστους μίας πραγματικής κατασκευής από ελάσματα, λαμβάνοντας υπόψη το κόστος των μέσων σύνδεσης (συγκόλληση) αλλά και την αναξιοποίητη ποσότητα της πρώτης ύλης (φύρα). Το εν λόγω παράδειγμα αποτελεί αντιπροσωπευτική περίπτωση κατά την οποία η διαδικασία βελτιστοποίησης πρέπει να διαμορφωθεί κατάλληλα, έτσι ώστε να ανταποκρίνεται στις απαιτήσεις της εκάστοτε συγκεκριμένης εφαρμογής. Στο 8ο Κεφάλαιο διατυπώνεται μία πρωτότυπη ευριστική μέθοδος συνδυαστικού τύπου, κατάλληλη για την ελαχιστοποίηση του βάρους μίας κατασκευής αποτελούμενης από τυποποιημένες διατομές εμπορίου. Ως εφαρμογές, εξετάζονται τυπικές περιπτώσεις από τον χώρο των γερανογεφυρών, ενώ παρατίθεται και μία εφαρμογή μεγάλης κλίμακας (ελαχιστοποίηση βάρους υποστέγου αεροσκαφών). Στο 9ο Κεφάλαιο καταγράφονται επιγραμματικά τα συμπεράσματα τα οποία προκύπτουν από την παρούσα Διδακτορική Διατριβή, ενώ διατυπώνονται και σκέψεις για περαιτέρω έρευνα. Τέλος, στο Παράρτημα Ι παρατίθεται μία σειρά παραδειγμάτων βελτιστοποίησης πραγματικών κατασκευών είτε μελετώντας παραμετρικά τα βασικά σχεδιαστικά χαρακτηριστικά της κατασκευής (ανάλυση ευαισθησίας), είτε αξιοποιώντας τις δυνατότητες βελτιστοποίησης που είναι ενσωματωμένες σε εμπορικό λογισμικό ανάλυσης κατασκευών με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ). Μέρος της παρούσης Διδακτορικής Διατριβής έχει καταγραφεί σε δύο δημοσιεύσεις σε έγκριτα επιστημονικά περιοδικά και σε 25 εργασίες σε διεθνή επιστημονικά συνέδρια.

The present PhD thesis concerns the optimization of engineering structures and more particularly the weight minimization of a structure when various and different constraints are imposed. This subject is most important and popular in the Engineering community, with a wide range of research, application and history. Based on the existing literature, the structural optimization methodologies may be categorized in three large groups: those concerning size optimization, those concerning topology optimization and those concerning shape optimization. The first group includes those methodologies that seek the cross-section of the structural members for the total weight to be minimized and for no constraint to be violated. The second group includes those procedures which result in the formation of holes inside the design domain by appropriately moving inner nodes; in this way, redundant material is removed and the structural weight is minimized while no constraint is violated. The third group includes those methods according to which the border nodes are appropriately moved so that again the structural weight is minimized and all of the constraints are fulfilled. In the most general case, the aforementioned optimization problems are not uncoupled. This is the reason why the interest has been focused on methodologies that simultaneously deal with all three problems. From this viewpoint, the term ‘layout optimization’ refers to that optimization procedure that seeks for the best distribution/configuration/layout of the available material so that the objective target is achieved, while at the same time the imposed constraints are not violated. According to G.I.N. Rozvany, a distinguishing person in the field of Computational Mechanics, there are two possible approaches for the layout optimization problem, the former being termed as the ‘classical layout optimization’ and the latter being termed as ‘advanced layout optimization’. In the current Thesis, the aforementioned consideration was adopted, and served as a basis on which known optimization techniques were investigated, their limits were defined and new suggestions for improving their performance were proposed. In addition, new novel approaches were introduced and evaluated through a comparison with already existing ones. The main contribution of the present thesis boils down to the formulation of a novel, energy-oriented, weight minimization procedure, which was used to successfully solve the generalized problem of minimizing the structural weight under a displacement constraint. Extending this approach, the problem of minimizing the structural weight under a stress constraint was also solved. In brief, in the present Thesis:  the state-of-the-art procedures for optimizing engineering structures were gathered, with emphasis being put on those procedures applicable to the shape and topology optimization of structures,  characteristic literature examples were investigated for understanding better the applied procedures and disclosing weak points that needed to be improved,  new performance indices were introduced, suitable for evaluating the examined optimization procedures,  variations of approaches found in the literature were introduced, the variations providing an improved performance with respect to the initially stated procedures,  new numerical schemes for structural optimization were developed,  codes in FOTRAN, MatLab and APDL (the programming language found in Ansys, which is a commercial software for structural analysis) were developed and finally  the entire research work was supported with three journal papers and 27 papers in world congresses and international conferences. However, as mentioned earlier, the main contribution of the present Thesis was the successful handling of two types of optimization problems. More particularly, in the literature, from the early 70s, the solution to the single constraint optimization problem was known. However, this type of problem strictly assumed that, at the optimum, not only was one displacement constraint active but also the corresponding degree of freedom was a priori known. In the present Thesis, the generalization of this problem was solved meaning that the aforementioned a priori knowledge was removed. The solution was achieved using an energy-oriented procedure based on the Lagrange multipliers method, but, opposing to the existing published approaches, the estimation of such a multiplier is avoided. Extending the aforementioned proposed approach, the theoretical solution to the problem of imposing a single stress constraint was also solved. In this case, again only one constraint, a stress constraint this time, is active at the optimum but it is not known a priori the structural member corresponding to the active constraint. Once again, even though the solution was based on the Lagrange multipliers method, such a multiplier was not necessary to be estimated, while no assumptions concerning the indeterminacy of the structure was made. Due to this reason, the proposed approach outmatches the most popular and widely known Stress-Ratio (SR) technique because the latter tends to make all structural members take on the maximum allowable stress (Fully Stressed Design), which has been mathematically proved to be an optimal design only if certain conditions of determinacy hold. Regarding the structure of the present Thesis, in Chapter 1 the generalized problem of minimizing the structural weight is stated and some of the modern optimization methodologies attacking this problem are briefly referred. More particularly, general deterministic mathematical programming methods are presented. Similarly, the most representative stochastic optimization methods are discussed. In the sequel, the so-called Optimality Criteria are mentioned; these are statements that describe some sort of energy state at the optimum. In the same Chapter, the homogenization method by Kikuchi, the SIMP method by Bendsøe, the Method of Moving Asymptotes by Svanberg, the Bubble method by Eschenauer as well as the Evolutionary Structural Optimization (ESO) method by Xie and Steven are presented. In Chapter 2, some of the most well-known and widely-used optimization methods, both deterministic and stochastic are thoroughly evaluated through an extensive series of literature benchmarking problems (mathematical functions and trusses). Furthermore, a novel hybrid optimization method combining a deterministic search direction, using Powell’s method, and a stochastic determination of the step size, using Simulated Annealing, is introduced. According to the presented evaluation, this method outperforms the competition but has a higher computational cost. In Chapter 3, the structural optimization problem is approached from an energy viewpoint that concerns the, partial or total, removal of excessive material from a continuum aiming at its weight reduction but without violating any of the imposed constraints. In the same chapter the compliance constraint optimization problem is discussed, as well as the problem of minimizing the structural weight for a Fully Stressed Design (FSD). In Chapter 4, the optimization of a structure utilizing FSD is examined. In the beginning, skeletal structures, substituting the continuum, are examined, while in the sequel the continuum is examined as such. More particularly, two approaches are presented, the former being the redesign of the continuum using finite elements of constant thickness and the latter using for the redesign finite elements of element-wise variable thickness, thus permitting the uncoupled movement of the nodes, even if these nodes belong to the same element. In the sequel, the application of the (FSD) and the (ESO) methods in plates is examined. Furthermore, for the minimum weight of a 3D continuum through the total removal of finite elements, a removal scheme using the von Mises stress was applied and compared to a proposed variation, which the cases studied show that outperforms the originally stated approach because it results in better designs and in a lower number of iterations. Finally, a theoretical solution to the, as coined in the present Thesis, extended single stress constrained problem is introduced. In Chapter 5, the, as coined in the present Thesis, extended single displacement constrained problem is solved for skeletal structures. The solution is based on a novel redesign procedure and the validity of the proposed method is thoroughly examined through 48 examined cases. The applicability of this procedure extends to both determinate and indeterminate structures. In Chapter 6, the applicability to 2D continua of the procedure introduced in Chapter 5 is examined, when the 2D continua are dealt as such. Once again, two approaches are examined the former being the implementation of constant element-wise thickness and the latter being the implementation of variable element-wise thickness. On top of that, a variation of the (ESO) method is introduced. According to this variation, the criterion for selecting the redundant material (finite elements) to be removed is normalized with respect to the active part of the structure. This variation is shown to result in better designs and with a lower computational cost. In Chapter 7, the problem of minimizing the cost of an engineering structure is examined through minimizing the structural weight and increasing the commonality of the remaining structural members. To this end, a novel procedure for skeletal structures is introduced implementing two operators, one for grouping structural members with similar cross section (commonality) and one for eliminating redundant structural members. On top of that, the real-life problem of minimizing the cost of oil tanks is examined. In this case, for the cost minimization, the cost for welding, as well as the quantity of the remaining unexploited material (scrap), is taken into consideration. In Chapter 8, a novel heuristic combinatorial optimization method is introduced, suitable for minimizing the weight of structures assembled from standard beams or standard plates. As real-life applications, crane girders and crane runway beams, as well as a hangar, are examined. In Chapter 9, the conclusions of the present Thesis and ideas for further research are briefly presented. Last, in Appendix I, the optimization of a series of real-life engineering structures is examined either through the implementation of a sensitivity analysis with respect to the basic geometric characteristics of the structures or through the use of optimizers embedded in commercially available software suitable for structural analysis with the Finite Element Method (FEM). For the needs of this section, optimizers found in Ansys were used.