Σχεδόν-αντισυμμετρικοί πίνακες και μετασχηματισμός Levinger

Φανουργιάκη, Γεωργία Στυλιανή; Fanourgiaki, Georgia Styliani

dc.contributor.author	Φανουργιάκη, Γεωργία Στυλιανή	el
dc.contributor.author	Fanourgiaki, Georgia Styliani	en
dc.date.accessioned	2016-06-29T11:29:29Z
dc.date.available	2016-06-29T11:29:29Z
dc.date.issued	2016-06-29
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/42899
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.12412
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Σχεδόν-αντισυμμετρικός πίνακας	el
dc.subject	Ρίζα Perron	en
dc.subject	Διάνυσμα Perron	el
dc.subject	Μετασχηματισμός Levinger	el
dc.subject	Συνάρτηση Levinger	el
dc.subject	Αριθμητικό πεδίο	el
dc.subject	Πίνακας πρωταθλήματος	el
dc.subject	Almost skew-symmetric matrix	en
dc.subject	Perron root	en
dc.subject	Perron vector	en
dc.subject	Levinger’s transformation	en
dc.subject	Levinger’s function	en
dc.subject	Numerical range	en
dc.subject	Tournament matrix	en
dc.title	Σχεδόν-αντισυμμετρικοί πίνακες και μετασχηματισμός Levinger	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2016-03-03
heal.abstract	Η παρούσα διπλωματική εργασία ξεκίνησε με κίνητρο την εικασία των Brualdi-Li (1983) ως προς το ποιοι πίνακες πρωταθλήματος (tournament matrices) παρουσιάζουν τη μεγαλύτερη δυνατή ρίζα Perron. Η εικασία αυτή ουσιαστικά στόχευε στην απόδειξη ή μη της αίσθησης ότι όσο η ρίζα Perron ενός πίνακα πρωταθλήματος αυξάνει, τόσο το αντίστοιχο πρωτάθλημα (του οποίου η βαθμολογία δίνεται από το συγκεκριμένο πίνακα) γίνεται πιο αμφίρροπο με “τάση” προς την απόλυτη ισοπαλία. Οι πίνακες πρωταθλήματος που έχουν υποστεί παράλληλη μετατόπιση κατά 12 ανήκουν στην κατηγορία των σχεδόν-αντισυμμετρικών πινάκων, δηλαδή των πραγματικών, μη αρνητικών πινάκων που έχουν συμμετρικό μέρος βαθμού 1. Αρχικά, ο Friedland ήταν εκείνος που γενίκευσε τους πίνακες πρωταθλήματος στην κατηγορία των μη αρνητικών, σχεδόν-αντισυμμετρικών πινάκων, χρησιμοποιώντας αναλυτικές τεχνικές και μεθόδους. Αργότερα, οι Psarrakos και Tsatsomeros συνέχισαν την προσπάθεια αυτή με μία σειρά από 3 δημοσιεύσεις, οι οποίες έχουν ως αντικείμενο τη συμπεριφορά της ρίζας Perron, τους ιδιόχωρους Perron και το μετασχηματισμό Levinger των μη αρνητικών, σχεδόν-αντισυμμετρικών πινάκων. Η ανάλυση επί των συγκεκριμένων πινάκων που πραγματοποιήθηκε, έδειξε τη στενή σχέση της ρίζας Perron με την ποσότητα που ορίστηκε ως διασπορά (variance) πίνακα. Η ποσότητα αυτή αποτελεί ουσιαστικά μέτρο για την απόσταση της “δεξιότερης” ιδιοτιμής ενός πίνακα από την κανονικότητα. Κατά την εν λόγω μελέτη της ρίζας Perron, οι Friedland και Kirkland και έπειτα οι Psarrakos και Tsatsomeros κατασκεύασαν φράγματα με χρήση του μετασχηματισμού Levinger. Πιο συγκεκριμένα, μέσω του μετασχηματισμού αυτού, μελέτησαν τη συμπεριφορά της συνάρτησης Levinger (δηλαδή, της ρίζας Perron του μετασχηματισμένου πίνακα) και της παραγώγου της, καθώς και το φάσμα, τη φασματική ακτίνα και το αριθμητικό πεδίο των σχεδόν-αντισυμμετρικών πινάκων. Παράλληλα, εξετάστηκε η σχετική γεωμετρία του δεξιού και αριστερού ιδιοχώρου Perron. Στα πλαίσια της εργασίας, μελετάμε αναλυτικά οι σχεδόν-αντισυμμετρικοί πίνακες και ο μετασχηματισμός Levinger μέσω του οποίου επιτυγχάνονται “βελτιωμένα” φράγματα για τη ρίζα Perron, για να καταλήξουμε στην κατηγορία των πινάκων πρωταθλήματος. Πιο συγκεκριμένα, σε πρώτη φάση, εξετάζουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των σχεδόν-αντισυμμετρικών πινάκων, και μελετάμε τη συμπεριφορά του φάσματος και του αριθμητικού πεδίου που έχουν υποστεί μετασχηματισμό Levinger. Κατασκευάζουμε φράγματα -μέσω του 𝑞��-αριθμητικού πεδίου αυτή τη φορά- τόσο για τη συνάρτηση Levinger όσο και για την παράγωγό της. Τέλος, εφαρμόζουμε τα αποτελέσματα που έχουν προκύψει, στους πίνακες πρωταθλήματος. Αναλύουμε πώς αυτοί διακρίνονται σε πίνακες ισοπαλίας και πίνακες σχεδόν ισοπαλίας, σε ποιες περιπτώσεις επιτυγχάνεται η μέγιστη δυνατή ρίζα Perron και πότε παρατηρείται η μικρότερη δυνατή απόσταση από την κανονικότητα.	el
heal.abstract	This dissertation began motivated by the conjecture of Brualdi- Li (1983) as to which tournament matrices present the utmost Perron root. This conjecture essentially aimed to prove whether or not the sense that as the Perron root increases, the corresponding tournament (whose rating is given by this matrix) is more ambiguous with “tendency” towards the ultimate tie. The tournament matrices that have undergone parallel displacement by 12 belong to the category of almost skew symmetric matrices, that is the real ones, nonnegative matrices that have symmetric part of grade 1. Initially, Friedland was the one who generalized the tournament matrices in the nonnegative category, almost skew-symmetric matrices, by using analytical techniques and methods. Later, Psarrakos and Tsatsomeros continued this effort with a series of 3 publications, whose subject is the conduct of the Perron root, the Perron eigenspace and the Levinger’s transformation of nonnegative, almost skew-symmetric matrices. The analysis of the specific matrices that has been held, showed the close relationship of the Perron root with the quantity that was defined as variance. This quantity is essentially a measure for the distance of the “rightmost” eigenvalue of a matrix from normality. In this Perron root study, Friedland and Kirkland and then Psarrakos and Tsatsomeros built bounds using the Levinger’s transformation. More specifically, through this transformation, they studied the conduct of the Levinger’s function, (which is, the Perron root of the transformed matrix) and its derivative, as well as the spectrum, the spectral radius and the numerical range of the almost skew-symmetric matrices. At the same time, the Relative geometry of the right and left Perron eigenspace was examined.In this thesis, we study analytically the almost skew-symmetric matrices and the Levinger’s transformation through which “improved” bounds for the Perron root are achieved, so as to end up to the tournament matrices category. To be more specific, at first, we examine the eigenvalues and the eigenvectors of the almost skew-symmetric matrices and we study the behaviour of the spectrum and the numerical range that have undergone the Levinger’s transformation. We construct bounds –through the q-numerical range this time –both for the Levinger’s function and for its derivative. Lastly, we apply the results that have come of, to the tournament matrices. We analyze the way they are istinguished in draw matrices and in almost draw matrices, in which cases the utmost Perron root is achieved and when the least possible distance from the normality is observed.	en
heal.advisorName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος	el
heal.committeeMemberName	Κανελλόπουλος, Βασίλειος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	69 σ.
heal.fullTextAvailability	true