Συμβολή στην προσομοίωση της θραύσης κυματισμών σε εξελιγμένο μοντέλο Boussinesq

Abstract

Τα μαθηματικά μοντέλα αποτελούν πλέον τον καθιερωμένο τρόπο μελέτης της διάδοσης κυματισμών στην παράκτια ζώνη. Ανάμεσα σε αυτά, τα μοντέλα τύπου Boussinesq κατέχουν εξέχουσα θέση. Βασίζονται στις ολοκληρωμένες στο βάθος εξισώσεις συνέχειας και ορμής και περιλαμβάνουν χαρακτηριστικά διασποράς και μη-γραμμικότητας. Ένα πλήθος εργασιών έχει εκπονηθεί με στόχο τη βελτίωση της απόδοσης των χαρακτηριστικών αυτών. Οι Karambas και Memos (2009) παρουσίασαν ένα εξελιγμένο μοντέλο τύπου Boussinesq που περιγράφει τη διάδοση πλήρως διασπειρόμενων και ελαφρώς μη-γραμμικών κυματισμών σε οποιοδήποτε βάθος. Το μοντέλο εφαρμόζεται για απλούς και σύνθετους κυματισμούς σε περιοχές σταθερού βάθους ή ήπια μεταβαλλόμενης βυθομετρίας. Αποτελείται από ένα σύστημα εξισώσεων σε δύο (2D) ή μία (1D) οριζόντιες διαστάσεις. Η προσομοίωση της θραύσης κυματισμών στα μοντέλα τύπου Boussinesq αποτελεί πεδίο επιστημονικής έρευνας. Η προσθήκη της στο μοντέλο των Karambas και Memos (2009) έχει γίνει κατά το παρελθόν τόσο βάσει της τεχνικής του επιφανειακού κυλίνδρου (surface roller breaker), όσο και βάσει της τεχνικής της τυρβώδους συνεκτικότητας (eddy viscosity breaking model). Ακολουθώντας την πρόταση των Cienfuegos et al. (2010), το μονοδιάστατο μοντέλο των Karambas και Memos (2009) επεκτείνεται ώστε να συμπεριλάβει την επίδραση της θραύσης τόσο στην εξίσωση ορμής, όσο και στην εξίσωση συνέχειας προσθέτοντας επιπλέον όρους θραύσης. Το 1D μοντέλο περιλαμβάνει όρους της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας ζ και της μέσης κατά το βάθος ταχύτητας U. Στην περιοχή της θραύσης γίνεται ένας ξεκάθαρος διαχωρισμός μεταξύ της περιοχής όπου μπορεί να εφαρμοστεί η θεωρία δυναμικού και της τυρβώδους περιοχής του επιφανειακού κυλίνδρου από πάνω της. Οι όροι θραύσης ενεργοποιούνται όταν η κλίση της ελεύθερης επιφάνειας ξεπεράσει μία οριακή τιμή και απενεργοποιούνται όταν γίνει μικρότερη από μία άλλη χαμηλότερη οριακή τιμή. Η μορφή των όρων θραύσης είναι τέτοια ώστε να διασφαλίζεται η συνολική διατήρηση της μάζας και της ορμής σε ένα γεγονός θραύσης, σε αντίθεση με τις προηγούμενες προσεγγίσεις προσομοίωσης της θραύσης. Στα πλαίσια της εργασίας έγινε διερεύνηση του απλού ρητού σχήματος πεπερασμένων διαφορών (FTCS) που προτάθηκε αρχικά. Το σχήμα αυτό εξασφαλίζει μικρούς υπολογιστικούς χρόνους και αποδίδει ικανοποιητικά για μικρούς χρόνους προσομοίωσης, αλλά δεν παρουσιάζει σύγκλιση και για μεγαλύτερους χρόνους εμφανίζει προβλήματα αριθμητικής αστάθειας, ιδίως όταν συμπεριληφθεί και η θραύση. Έτσι, η αριθμητική επίλυση έγινε με ένα σχήμα πεπερασμένων διαφορών (3ης τάξης) πρόβλεψης- (4ης τάξης) διόρθωσης Adams- Bashforth- Moulton. Το στάδιο διόρθωσης περιλαμβάνει επαναληπτική διαδικασία ώσπου το μοντέλο να συγκλίνει με επιθυμητή ακρίβεια. Το μοντέλο επαληθεύτηκε σε σχέση με αρκετά σετ πειραμάτων για θραυόμενους κυματισμούς. Τα πειράματα αφορούσαν σε απλούς μονοχρωματικούς κυματισμούς, κύματα cnoidal, μοναχικό κύμα και σύνθετους κυματισμούς. Εκτός των πειραματικών καταγραφών, γίνεται σύγκριση και με τα αποτελέσματα του εμπορικού μοντέλου MIKE 21 BW. Το μοντέλο αυτό είναι επίσης ήπιας μη-γραμμικότητας με βελτιωμένα χαρακτηριστικά διασποράς. Για λόγους πληρότητας γίνεται μία σύντομη περιγραφή του προγράμματος. Επίσης, τα αποτελέσματα του προτεινόμενου μοντέλου συγκρίνονται με τα αντίστοιχα των προηγούμενων εκδόσεων του μοντέλου των Karambas και Memos (2009) με προσομοίωση της θραύσης βάσει της τεχνικής του επιφανειακού κυλίνδρου και της τυρβώδους συνεκτικότητας. Τέλος, έγινε διερεύνηση σε σχέση με την ευαισθησία ως προς κάποιες παραμέτρους που υπεισέρχονται στο μοντέλο. Το προτεινόμενο μοντέλο έδειξε γενικά βελτιωμένη απόκριση, ενώ το σχήμα πρόβλεψης-διόρθωσης (predictor-corrector) εξασφάλισε την αριθμητική ευστάθεια της λύσης. Βέβαια, υπάρχουν αρκετές προοπτικές επέκτασης του μοντέλου, όπως η αύξηση της τάξης μη-γραμμικότητας, η προσομοίωση των μη-γραμμικών κυματικών αλληλεπιδράσεων (wave-wave interactions), η προσομοίωση της αναρρίχησης στην ακτή και η επέκταση της θραύσης σε δύο διαστάσεις. Τελικός σκοπός είναι η σύνδεση του μοντέλου με κάποιο μοντέλο παράκτιας στερεομεταφοράς και διάβρωσης του πυθμένα και των ακτών. Αυτές οι κατευθύνσεις μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο μελλοντικής έρευνας.

Mathematical models are nowadays the standard way of investigating wave propagation in the coastal zone. The most important among them are the Boussinesq-type models. They rely on the depth integrated continuity and momentum equations which contain characteristics of dispersion and non-linearity. Numerous works have been elaborated in order to improve these characteristics. Karambas and Memos (2009) presented a post-Boussinesq model for fully dispersive and weakly non-linear waves at any water depth. This model is valid for regular and irregular waves propagating over constant or slowly varying depth. It consists of a system of equations in two (2D) or one (1D) horizontal dimensions. Wave-breaking simulation in Boussinesq-type models has been a field of scientific research. Wave-breaking based on the surface roller approach and on the eddy viscosity approach has been included in Karambas and Memos’s (2009) model during the past. Following the formulation by Cienfuegos et al. (2010), the one-dimensional Karambas and Memos’s (2009) model is expanded to include the breaker effects in both the momentum and continuity equations by adding extra dissipative terms. The 1D model is expressed in terms of surface elevation ζ and depth-averaged horizontal velocity U. In the vicinity of the breaker there is a clear distinction between the organized layer where potential flow theory can be applied and the turbulent roller region above it. The breaking terms are activated if the slope of the free surface overcomes a critical value and are deactivated if it becomes less than another lower critical value. The form of the breaking terms ensures overall mass and momentum conservation over a breaking event in contrary to previously proposed breaking models. In the present work the initially proposed simple explicit finite difference scheme (FTCS) is investigated. This scheme ensures short computational time and performs well for short simulating time but it doesn’t converge and also numerical instability appears for longer simulating time, especially when wave-breaking is included. That’s why the numerical solution was accomplished by a finite difference (3rd order) predictor- (4th order) corrector Adams-Bashforth-Moulton scheme. The corrector stage is iterated until the model converges to a set accuracy. The model was verified through comparison against several sets of experimental data for breaking waves. The tests refer to monochromatic waves, cnoidal waves, solitary wave and irregular waves. Apart from the experimental measurements, there is also a comparison with the results of the commercial model MIKE 21 BW. This model is also weakly non-linear and includes improved characteristics of dispersion. It is described briefly to have a clear point of view. In addition, the results of the proposed model are compared to those of its previous wave-breaking versions based on the surface roller technique and on the eddy viscosity method. Finally, the sensitivity of the model to some involved variables was investigated. The proposed model showed in general improved response, while the predictor-corrector scheme ensured numerical stability of the solution. Of course, there are many perspectives for the expansion of the model, such as the increase of the order of non-linearity, the modelling of the non-linear wave-wave interactions, the modelling of wave run-up and the expansion of this wave-breaking approach in two dimensions. The final aim is the combination of the model with a coastal sediment transport model and a bed and shore erosion model. These directions can be objectives of a future research.