Ιδιοτιμές και Διακλαδώσεις για την p-Laplacian με αόριστο βάρος σε όλο τον R^N

Abstract

Μελετάμε μια ημιγραμμική ελλειπτική ΜΔΕ που περιλαμβάνει την p-Laplacian και ένα αόριστο βάρος σε όλο τον R^N. Η εργασία χωρίζεται σε τρία μέρη. Στο πρώτο μέρος, μετασχηματίζουμε τη ΜΔΕ σε ολοκληρωτική τελεστική μορφή και τη μελετάμε σαν πρόβλημα ιδιοτιμών για τον τελεστή που αντιστοιχεί στην p-Laplacian, σε ένα χώρο Sobolev με βάρος. Οι ασθενείς λύσεις που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές μπορούν να χαρακτηριστούν με μεταβολικό τρόπο (χρησιμοποιώντας την "min-max" Ljusternik-Schnirelman θεωρία ) , σαν κρίσιμα σημεία κατάλληλου συναρτησιακού σε συγκεκριμένες πολλαπλότητες περιορισμών. Η ύπαρξη εξασφαλίζεται από μια συνθήκη συμπάγειας μέσω τοπολογικών μεθόδων. Στο δεύτερο μέρος, αποδεικνύουμε ότι η κυρίαρχη ιδιοτιμή (όπως και στην περίπτωση του κλασικού προβλήματος Dirichlet για τη Laplacian) είναι θετική, απλή, απομονωμένη και μελετάμε ιδιότητες της αντίστοιχης ιδιοσυνάρτησης. Το ότι δουλεύουμε σε όλο τον R^N, η ισχυρή μη-γραμμικότητα της p-Laplacian και ότι το βάρος μπορεί να αλλάζει πρόσημο, είναι μερικοί από τους λόγους για τους οποίους δεν μπορούμε ευθέως να εφαρμόσουμε την min-max αρχή του Courant για το χαρακτηρισμό των ιδιοτιμών. Στο τρίτο μέρος μελετάμε το λεγόμενο <<πρόβλημα διακλαδωσης>>. Όχι αυστηρά μιλώντας, αν θεωρήσουμε το σύνολο των λύσεων (λ,u) του τελεστικού προβλήματος σαν μια συνεχή καμπύλη στο χώρο γινόμενο και αν (λ,0) είναι η τετριμμένη λύση, θα θέλαμε να ξέρουμε αν υπάρχει κάποια κρίσιμη τιμή της παραμέτρου λ, ας πούμε η λ*,τέτοια ώστε (λ*, u* <>0 )να είναι λύση, δηλαδή, ένας κλάδος λύσεων <<φεύγει>> από τον οριζόντιο άξονα, (και αν αυτό θα ξανασυμβεί αργότερα). Για τη μελέτη αυτού του προβλήματος κάνουμε χρήση της θεωρίας Τοπολογικού Βαθμού -μια τοπολογική γενίκευση της έννοιας του αριθμού περιστροφής από τη Μιγαδική Ανάλυση ' ουσιαστικά, δίνει το τοπολογικό ανάλογο στην ερώτηση <<πότε παύει να ισχύει το θεώρημα Πεπλεγμένης Συνάρτησης ;>>. Στη συνέχεια βρίσκουμε τον τύπο της διακλάδωσης και μελετάμε ιδιότητες της λύσης πάνω στους κλάδους διακλάδωσης (πχ πρόσημο και ομαλότητα) και τέλος δίνουμε παραδείγματα για την οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων.

We deal with a quasilinear elliptic PDE involving the p-Laplacian and an indefinite weight in all of R^N. The thesis is divided in three parts. In the first part we transform the PDE into an integral operators formulation, and we study it as an eigenvalue problem for the associated p-Laplacian operator in a weighted Sobolev space. The weak solutions that correspond to the eigenvalues are derived by a variational methodology (making use of the "min-max" Ljusternik-Schnirelman theory ) , as critical points of appropriate functionals on certain constraint manifolds. The existence is assured by a compactness argument and through a topological interpretation of the underlying structure. In the second part we prove that the principal eigenvalue (as in the case of the standard Dirichlet problem for the Laplacian) is positive, simple and isolated and we study properties of the associated eigenfunction. That we work in all of R^N; the strong nonlinearity of the p-Laplacian and that the weight function changes sign, are the reasons why we cannot directly apply Courant's min-max principle for the characterization of the eigenvalues. The thirdd part deals with the so-called " bifurcation problem ". Informally speaking, if we consider the set of solutions (λ,u) of the operator problem as a continuous curve in the product space and if (λ,0) is the trivial solution, we would like to know if there is a critical value of the parameterλ, say λ*,such that (λ*,u* <> 0) is a solution, i.e.a solution branch from the horizontal axis " departs " (and whether this is going to happen again later). We deal with the problem by using Topological Degree Theory -a topological generalization of the winding number from Complex Analysis; basically it provides the topological analogue to the question << when does the Implicit Function Theorem break down ? >>. Next we study the type of the bifurcation as well as some properties of the solution (e.g. sign and regularity ) when on the bifurcation branches, and we present some examples in order to visualize the result.