Αλγεβρικές μέθοδοι μελέτης του ανισοτροπικού ταλαντωτή με Rosochatius όρους αλληλεπίδρασης

Abstract

Με την παρούσα μεταπτυχιακή εργασία ολοκληρώνεται η προσπάθεια μελέτης των κβαντικών υπερολοκληρώσιμων συστημάτων. Πιο συγκεκριμένα μελετήθηκε ο ανισοτροπικός κβαντικός ταλαντωτής με λόγο συχνοτήτων ίσο με το λόγο ακεραίων αριθμών με ή χωρίς όρους αλληλεοπίδρασης Rosochatius. Στο Κεφάλαιο 1 δίνεται μια εισαγωγή της έννοιας της υπερολοκληρωσιμότητας καθώς επίσης μελετώνται διεξοδικά τα διάφορα "εργαλεία δουλείας" που χρησιμοποιούνται για αυτή την κατηγορία συστημάτων. Στο Κεφάλαιο 2, εφοδιασμένοι πλέον με τα καινούργια μας εργαλεία, ξεκινάμε την μελέτη του ανισοτροπικού ταλαντωτή χωρίς Rosochatius όρους. Σε αυτή την περίπτωση υπολογίζονται οι ιδιοτιμές και οι ιδιοκαταστάσεις (αναπαράσταση) της Χαμιλτονιανής καθώς επίσης ορίζονται τελεστές στροφορμής και υπολογίζονται οι σχέσεις μετάθεσης που αυτοί ικανοποιούν. Στο Κεφάλαιο 3 υπολογίζονται οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις (αναπαράσταση) της Χαμιλτονιανής του ανισοτροπικού ταλαντωτή με όρους Rosochatius. Στη συνέχεια τα αποτελέσματα που βρέθηκαν συγκρίνονται με παλαιότερα αποτελέσματα και με αυτό τον τρόπο ελέγχετε η ορθότητα της μεθόδου που ακολουθήσαμε. Στο Κεφάλαιο 4 εφαρμόζουμε τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 2 σε ένα σύγχρονο πρόβλημα πυρηνικής φυσικής που προέκυψε κατά την διάρκεια συγγραφής της εργασίας. Εφαρμόζουμε δηλαδή τον ανισοτροπικό κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή ως οριακή περίπτωση της Χαμιλτονιανής του μοντέλου Nilsson στο όριο των βαρέων πυρήνων και πετυχαίνουμε την επίλυση του προβλήματος. Πιο συγκεκριμένα μελετάμε το πρόβλημα που προκύπτει κατά την περιγραφή βαρέων παραμορφωμένων πυρήνων λόγω της αλληλοεπικάλυψης των κυματοσυναρτήσεων των κβαντικών καταστάσεων τους (τροχιακών), όπως αυτές εμφανίζονται σε διάφορα πειραματικά δεδομένα. Το πρόβλημα αυτό διατυπώθηκε από τον Rick Casten, τον Οκτώβριο του 2010, κατά την διάρκεια της επίσκεψης του στην Ελλάδα στα πλαίσια της 69ης συνάντηση της Nuppecc (Nuclear Physics European Collaboration Committee). Τέλος στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται τόσο οι διάφορες κατευθύνσεις στη μελέτη των υπερολοκληρώσιμων συστημάτων όσο και οι επιμέρους προσεγγίσεις στη μελέτη αυτών των συστημάτων.

In this Master thesis we study a particular case of a quantum superintegrable system, the anisotropic quantum oscillator with or without Rosochatius interaction terms. In Chapter 1 we explain the idea of superintegrability and define the basic tools for our studies. In Chapter 2 we study the quantum anisotropic oscillator with rational ratios of frequencies. In particullar we found the eigenvalues of the energy and the representation of the algebra (eigenvectors). In Chapter 3 we study the quantum anisotropic oscillator with rational ratios of frequencies with Rosochatius interaction terms. Once again we find eigenvalues of the energy and representation of the corresponding algebra. Moreover we check our results with others groups working on the same problem. In Chapter 4 we apply results from Chapter 2 in a nuclear structure problem. In particular we consider the Hamiltonian of the anisotropic quantum oscillator as the heavy nuclei limit of the Nilsson structure model. Finally in Chapter 5 we present the general directions of studies in superintegrable systems and open problems.