Αριθμητική προσομοίωση διφασικής ροής μη αναμειγνυομένων ρευστών σε κλειστούς αγωγούς με εφαρμογή στη μικροκυκλοφορία του αίματος

Abstract

Υλοποιήθηκε ένα σύγχρονο αριθμητικό μοντέλο διφασικής ροής υγρού-υγρού ως πρόσφορο, παραστατικό, ακριβές εργαλείο προσομοίωσης διφασικής ροής σταγόνων με εφαρμογή στην μικροκυκλοφορία του αίματος που επιδέχεται εύκολα την ενσωμάτωση νέων παραμέτρων μοντελοποίησης. Υπολογίζεται αριθμητικά το συνολικό πεδίο της διφασικής ροής με επίλυση των πλήρων διδιάστατων ή αξονομετρικών εξισώσεων Navier-Stokes για Νευτώνεια, ασυμπίεστα, συνεκτικά ρευστά με επιφανειακή τάση μεταξύ των δύο φάσεων. Επίσης ανιχνεύεται, κατά την εξέλιξη του φαινομένου, η διεπιφάνεια, δηλαδή η καμπύλη (επιφάνεια) που χωρίζει τις δύο φάσεις υγρού-υγρού (σταγόνων και συνεχούς φάσης) με αλγορίθμους της Level-Set Method, ή «μεθόδου των ισοϋψών», βελτιστοποιημένης για διατήρηση της μάζας (επιφανείας) των σταγόνων και του πάχους της διεπιφάνειας των δύο φάσεων. Η LSM προσδιορίζει τη θέση και περιγράφει την κίνηση των σημείων της διεπιφάνειας των δύο ρευστών σε κάθε χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας υποχρεωτικά τις ταχύτητες του πεδίου ροής, ενώ παρέχει έμμεσα τις συνθήκες για την διατύπωση και επίλυση των αναθεωρημένων διφασικών εξισώσεων ορμής. Οι διαφορικές εξισώσεις του συνολικού πεδίου ροής διακριτοποιούνται επάνω σε ομοιόμορφα καρτεσιανά μετατοπισμένα πλέγματα τύπου ΜΑC με την μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών χρησιμοποιώντας μία σχεδόν δεύτερης τάξης ακριβείας μεθοδολογία προβολών κατά Chorin για το πεδίο ταχυτήτων και τον αλγόριθμο SOR της εξίσωσης Poisson για τον υπολογισμό του πεδίου πιέσεων. Η μεθοδολογία επιτρέπει οι σταγόνες να έχουν γενικά διαφορετικό ιξώδες και πυκνότητα από το περιβάλλον ρευστό και στην διεπιφάνεια των σταγόνων με το περιβάλλον ρευστό να ασκούνται δυνάμεις επιφανειακής τάσης. Οι χωρικές παράγωγοι της συνάρτησης των ισοϋψών  υπολογίζονται χρησιμοποιώντας πέμπτης τάξεως σχήματα WENO, ενώ η χρονική ολοκλήρωση των ημιδιακριτών εξισώσεων γίνεται με σχήματα (TVD) Runge-Kutta. Η μελέτη αξονοσυμμετρικών περιπτώσεων απαίτησε τροποποίηση στους αλγορίθμους των εξισώσεων Ν-S και της LSM. Η προσομοίωση στηρίζεται στην παραμετροποίηση και την αδιαστατοποίηση χαρακτηριστικών γεωμετρικών και ρευστοδυναμικών μεγεθών. Χρησιμοποιούνται οι αδιάστατοι αριθμοί: (Reynolds) Re, (Τριχοειδής) Ca, (Weber) We, λ, όπου λ είναι ο λόγος της δυναμικής συνεκτικότητας των σταγόνων προς το περιβάλλον ρευστό. Για την υλοποίηση του αριθμητικού διφασικού αλγορίθμου και την παραγωγή των αποτελεσμάτων της διατριβής, αναπτύχθηκε και χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό NaSt-LSM για διφασικές ροές με πολλές σταγόνες σε υπολογιστικά χωρία σύνθετης γεωμετρίας και με καμπύλα όρια με χρήση της συμβατικής LSM για α) διδιάστατα πεδία ροής β) αξονομετρικές ροές και γ) τις παραπάνω ροές με την μέθοδο της τοπικής μεθόδου των ισοϋψών, LLSM. Μελετήθηκαν χαρακτηριστικές μεταβατικές διφασικές διδιάστατες και αξονομετρικές ροές σταγόνων μέσα σε κλειστούς ευθύγραμμους αγωγούς και αγωγούς σύνθετης γεωμετρίας με σταθερά, άκαμπτα ευθύγραμμα ή καμπύλα τοιχώματα όπως μέσα σε: στένωση ή/και διαστολή με ή χωρίς καμπύλη εξομάλυνσης, διακλάδωση ταφ, διπλή γωνία, τοξωτή στένωση-διεύρυνση και κυματοειδή συνημιτονοειδή ευθύγραμμο αγωγό. Οι παραπάνω διφασικές ροές προσομοιώνουν αντίστοιχες ροές στην μικροκυκλοφορία του αίματος. Διατάξεις σταγόνων διασπείρονται και μεταναστεύουν μέσα στην πρωτεύουσα συνεχή φάση κάτω από επιλεγμένες κάθε φορά συνθήκες ροής σε πεδίο ροής Hagen-Poiseuille της συνεχούς φάσης ή ροή Couette. Με τον αριθμητικό αλγόριθμο υπολογίζονται ρευστοδυναμικά μεγέθη στην περιοχή ενδιαφέροντος ή σε ολόκληρο το χωρίο υπολογισμού για επιλεγμένα στιγμιότυπα της ροής χωρίς να εξαντλείται η μελέτη. Η ακρίβεια και η ευκρίνεια των διεπιφανειών (περιγραμμάτων σταγόνων ή αιμοσφαιρίων) που επιτεύχθηκε με το παραπάνω μοντέλο κρίνεται επαρκής για την μελέτη των φαινομένων. Καταγράφονται επίσης οι παράμετροι παραμόρφωσης κατά Taylor κλπ. Επιμέρους αποτελέσματα συγκρίνονται και επαληθεύονται με αριθμητικά η/και πειραματικά αποτελέσματα μελετών της βιβλιογραφίας για την τεκμηρίωση. Επιδιώχθηκε η βαθύτερη κατανόηση των επιμέρους φαινομένων και μηχανισμών που παρατηρούνται γενικά αλλά και της επίδρασης της συγκεκριμένης γεωμετρίας στη διφασική ροή. Μελετήθηκε η αλληλεπίδραση ανάμεσα στις σταγόνες που σε κάποιες μεταβατικές ροές οδηγεί σε συγχωνεύσεις ή διασπάσεις. Προσδιορίζονται τα ειδικά σχήματα και οι θέσεις μετανάστευσης μέσα στον αγωγό του περιγράμματος των σταγόνων. Τα συμπεράσματα εμπλουτίζουν τη γνώση μας για την συμπεριφορά των ερυθρών αιμοσφαιρίων και των λευκών αιμοσφαιρίων στο σύστημα των τριχοειδών αγγείων της μικροκυκλοφορίας. Στο διφασικό μοντέλο τα ερυθρά και τα λευκά αιμοσφαίρια και το πλάσμα θεωρούνται ασυμπίεστα, συνεκτικά ρευστά διαφορετικού ιξώδους. Η επιφανειακή τάση που επιβάλλεται στην διεπιφάνεια των δύο υγρών φάσεων προσομοιώνει σε ικανοποιητικό βαθμό τις ελαστικές ιδιότητες της μεμβράνης που διαχωρίζει τα ερυθρά αιμοσφαίρια από το πλάσμα. Τα τριχοειδή αγγεία θεωρούνται απλουστευτικά συνήθως σαν άκαμπτοι διδιάστατοι ή κυλινδρικοί ευθύγραμμοι ή συνημιτονοειδείς αγωγοί. Τα αιμοσφαίρια διασπείρονται και παραμορφώνονται μέσα στο πλάσμα, όπως σταγόνες σε περιβάλλον ρευστό χωρίς να αναμειγνύονται.

A modern numerical model of liquid-liquid two-phase flow was implemented as appropriate, document, accurate tool simulating biphasic flow of droplets with application in the microcirculation. The methodology calculates the total number of two-phase flow field by solving the complete two-dimensional or axis-symmetric Navier-Stokes equations for Newtonian, incompressible viscous fluids with surface tension between the two phases. Also it detects the interface, i.e. the curve (surface) that separates the two phases of liquid-liquid (droplets and continuous phase) and calculates the shapes of droplets during the evolution of the phenomenon with Level-Set Method algorithms, or "method of contour", optimized for conservation of mass (surface) of the droplets. The LSM determines the motion of the interface at any time using the velocities of the flow field and implicitly provides the conditions for the revised Navier-Stokes equations’ solver, incorporating viscous and surface tension terms. The differential equations of the total flow field are discretized on MAC type Cartesian uniform staggered meshes with suitable finite difference schemes using an almost second order accurate Chorin projection method to calculate the velocity field and the SOR algorithm to solve the Poisson equation for the pressure. The methodology allows the droplets to have generally different viscosity and density than the surrounding fluid and in the interface be exercised surface tension forces. The derivatives of the level-set function are computed by using fifth-order WENO and second-order TVD Runge-Kutta discretization schemes in order to improve the accuracy and the stability of the algorithm. The study of axisymmetric cases required modifications to the algorithms of N-S and LSM equations. The deformation and the migration of various arrangements (arrays) of droplets, as they are carried by the primary phase into the low Reynolds number (Re), developing Hagen-Poiseuille laminar flow, is computed and discussed on the basis of the non-dimensional numbers : Capillary number (Ca), Re, Weber number (We), viscosity ratio , λ . To implement the numerical two-phase algorithm and to produce results of this thesis, the NaSt-LSM software was developed using conventional LSM for a) two-dimensional flow fields b) axisymmetric flow and c) a third version for the above cases using the local level-set method, LLSM. Τransient, incompressible 2-D and axisymmetric two-phase flows of droplets of immiscible Newtonian fluids into closed straight and complex geometry ducts with fixed, rigid straight or curved walls such as contraction and/or expansion with or without smoothing curve; branch tees, double angle, arched contraction-expansion, cosine waving straight duct, were studied. These two-phase flows simulate corresponding flow in blood microcirculation. Specifically, the motion, dispersion, migration and deformation of various arrangements of droplets (or blood cells) into the primary continuous phase in Hagen-Poiseuille flow of continuous phase or Couette flow, are modeled and studied under selected conditions. Various fluid sizes locally in the area of interest or in the whole domain are calculated. The accuracy and sharpness of interfaces (shapes of droplets or blood cells) obtained with this model is sufficient for the study of phenomena. The deformation parameters by Taylor, are recorded. The parameters are simulated in the algorithms and the resulting fluid sizes document and group the observations. Partial results are compared and verified with numerical and/or experimental results of the literature. A deeper understanding of various phenomena and mechanisms observed in general and the effect of a specific geometry in the two-phase flow was attempted. The interaction of the droplets that some transient flow leads to mergers or splits were studied. The specific shapes and the positions of migration of droplets within the duct are identified. Many sub conclusions for the migration and deformation of various arrangements of droplets or a single droplet and respectively of blood cells in the different geometries of ducts studied, are presented in detail in this thesis. The findings enrich our knowledge about the behavior of red and white blood cells in the system of capillary microcirculation. In the two-phase model, the red and white blood cells and plasma consider incompressible, viscous fluids of different viscosity. The surface tension imposed on the interface of two liquid phases simulates satisfactorily the elastic properties of the membrane that separates the red blood cells from plasma. The capillaries are usually simplistic as a rigid two-dimensional cylindrical or cosine ducts. The cells are dispersed and deformed in plasma as liquid droplets in an ambient fluid without being mixed.