Τετραγωνικές μορφές - Το θεώρημα SVD και εφαρμογές

Κατσιούλα, Αγλαΐα; Katsioula, Aglaia

dc.contributor.author	Κατσιούλα, Αγλαΐα	el
dc.contributor.author	Katsioula, Aglaia	en
dc.date.accessioned	2018-10-15T09:31:36Z
dc.date.available	2018-10-15T09:31:36Z
dc.date.issued	2018-10-15
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/47794
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.15870
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Διγραμμικές τετραγωνικές μορφές	el
dc.subject	Θεώρημα SVD και εφαρμογές	el
dc.subject	Bilinear quadratic forms	en
dc.subject	Theorem SVD applications	en
dc.title	Τετραγωνικές μορφές - Το θεώρημα SVD και εφαρμογές	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Γραμμική άλγεβρα	el
heal.language	el
heal.access	campus
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2018-02
heal.abstract	Οι συμμετρικοί πίνακες εμφανίζονται όλο και πιο συχνά σε περισσότερες εφαρμογές με τον έναν ή τον άλλον τρόπο . Η θεωρία είναι πλούσια και όμορφη , βασισμένη με έναν ουσιώδη τρόπο και στη διαγωνοποίηση αλλά και στην ορθογωνιότητα . Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετώνται οι τετραγωνικές μορφές , το θεώρημα ανάλυσης ιδιαζουσών τιμών ( SVD ) όπως επίσης και οι εφαρμογές τους . Στο πρώτο κεφάλαιο μελετώνται τα βασικά στοιχεία της Γραμμικής Άλγεβρας όπως επίσης δίνεται ιστορική αναδρομή των τετραγωνικών μορφών και αναφορές στα έργα σπουδαίων Μαθηματικών . Στο δεύτερο κεφάλαιο ασχολούμαστε αναλυτικά με τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα των γραμμικών , διγραμμικών, τετραγωνικών μορφών και θετικά ορισμένων τετραγωνικών μορφών καθώς επίσης και με την ανάλυση ιδιαζουσών τιμών η οποία είναι μια παραγοντοποίηση πινάκων της οποίας οι εφαρμογές εξετάζονται στο τέταρτο κεφάλαιο . Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται διεξοδική αναφορά σε προβλήματα ακροτάτων με περιορισμούς , προβλήματα εύρεσης ακροτάτων συναρτήσεων δύο μεταβλητών και ταξινομούνται αναλυτικά οι καμπύλες και οι επιφάνειες 2ου βαθμού . Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο το θεώρημα SVD αναδεικνύεται ως σημαντικό εργαλείο στη συμπίεση δεδομένων και στην ανάλυση εικόνας , στην πολική ανάλυση με προεκτάσεις στη μηχανική συνεχούς μέσου και στη ρομποτκή , στην εύρεση της μικρότερου μήκους λύσης με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και στην ανάκτηση πληροφορίας.	el
heal.abstract	Symmetric matrices arise more often in applications , in one way or another .The theory is rich and beautiful , depending in an essential way on both diagonalization and orthogonality . The objective of this thesis is the study of quadratic forms , the singular value decomposition theorem and their applications . The first chapter includes the basic elements of Linear Algebra , the history of quadratic forms and references in accomplishments of great Mathematicians . The second chapter contains the definitions and the basic theorems of linear , bilinear , quadratic and positive define quadratic forms as well the singular value decomposition which is a matrix factorization . The third chapter encapsulates constrained extremum problems , calculating problems of relative extrema of function of two variables and classification of plane curves and plane surfaces . The fourth and last chapter brings out the SVD as a fascinating tool in image processing and data compression , polar decomposition with applications in continuum mechanics and robotics , finding the minimum length solution of least squares method and information retrieval .	en
heal.advisorName	Φελλούρης, Ανάργυρος	el
heal.committeeMemberName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Στεφανέας, Πέτρος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	94 σ.	el
heal.fullTextAvailability	true