The Coq Proof Assistant: ΜΕΡΟΣ Α' : "Εντολές και Εφαρμογές"

Abstract

Η εργασία “TheCoqProofAssistant”, αποτελεί μια περιγραφή του interactivetheoremproverCoq. Στο πρώτο τμήμα της εργασίας (Μέρος Α΄: Εντολές και εφαρμογές) αναλύονται τα κύρια χαρακτηριστικά και ορισμένες λειτουργίες του prover, και παρουσιάζονται ορισμένες εφαρμογές. Στο δεύτερο τμήμα (Μέρος Β΄: Εφαρμογές στην Εκπαίδευση), επιχειρείται μία προσέγγιση της αποδεικτικής διαδικασίας στην εκπαίδευση μέσω ορισμένων πειραματικών εργαλείων γεωμετρίας, που χρησιμοποιούν την Coq.

Στο παρόν Μέρος Α΄ της εργασίας παρουσιάζουμε αρχικά κάποια εισαγωγικά στοιχεία τα οποία βοηθούν τον αναγνώστη να κατανοήσει την φιλοσοφία πίσω από τους provers γενικά. Στη συνέχεια επικεντρωνόμαστε στους interactive (διαδραστικούς) provers και ειδικότερα στον Coq proof assistant, για τον οποίο κάνουμε μία ιστορική αναδρομή, και στο γραφικό περιβάλλον CoqIDE, το οποίο αποτελεί και το λειτουργικό πρόγραμμα της εργασίας. Το επόμενο κεφάλαιο αποτελεί έναν σύντομο οδηγό εκμάθησης της Coq, όπου αναλύουμε θέματα σύνταξης και εντολών και τον τρόπο με τον οποίο τις χειριζόμαστε για τις αποδείξεις μας. Το Μέρος Α΄ κλείνει με την παρουσίαση 3 εφαρμογών κλιμακούμενης δυσκολίας, με τελευταία την απόδειξη της αρρητότητας του .

Στο Β’ Μέρος της εργασίας, θα παρουσιάσουμε με συντομία τι είναι ένας proofassistant, θα μελετήσουμε τα πλεονεκτήματα της χρήσης των Λογισμικών αυτών για παιδαγωγικούς σκοπούς και τις ανάγκες που υπάρχουν για βελτίωση. Στη συνέχεια θα επικεντρωθούμε στη σύνδεση Λογισμικών Δυναμικής Γεωμετρίας (DGS) με τον Coqproofassistant και έτσι αναπόφευκτα θα αναφερθούμε στο περιεχόμενο της ύλης της Γεωμετρίας που διδάσκεται στο Λύκειο όπως επίσης και στις διάφορες τυποποιήσεις της βασικής Γεωμετρίας που έχουν γίνει κατά καιρούς σε Coq. Θα παρουσιάσουμε αναλυτικά τα πειραματικά αποδεικτικά εργαλεία Δυναμικής Γεωμετρίας GeoProof και GeoCoq, καθώς και κάποιες εφαρμογές που δείχνουν τη λειτουργία τους. Επίσης, θα επιχειρήσουμε την σύγκρισή τους και θα προσπαθήσουμε να εντοπίσουμε σημεία στα οποία τα εργαλεία αυτά επιδέχονται βελτίωσης όσον αφορά τη χρήση τους στο σχολικό περιβάλλον . Κλείνοντας, θα τονίσουμε τη σημασία που έχει η εξοικείωση των μαθητών με την αποδεικτική διαδικασία και την ανάγκη που υπάρχει για έρευνα στη χώρα μας σχετικά με κατασκευαστικά εργαλεία που συνδυάζονται με χρήση ενός proofassistant.

“The Coq Proof Assistant” thesis is a description of the interactive theorem prover Coq.In the first part of this thesis (Part A :Commands and Applications) we analyze the main features as well as certain functions of the prover and some applications are being presented. In the second part (Part B: Applications in Education), we seek an approach of the proving procedure in education through certain experimental Geometry tools using Coq.

In this Part A of our thesis, we present initially some introductory knowledge, which will help the reader understand the general philosophy behind provers. Then we focus on interactive provers and especially the Coq proof assistant and its historical background, and the GUI CoqIDE, which is also the operating program of our project. The following chapter is a short tutorial of Coq, in which we analyse syntax issues and commands and how we can handle them in favour of our proof. Part A concludes with the presentation of 3 applications of escalating difficulty, with last the evidence of irrationality.

In Part B of our thesis, we will present shortly what a proof assistantis, study the advantages of these Softwares’ use for pedagogical purposes and the existent needs for improvement. We will then focus on the connection between Dynamic Geometry Software (DGS)and the Coq proof assistant and will inevitably make a reference to the content of High School Geometry material as well as to various formalizations of Basic Geometry in Coq. We will present in detail the experimental Dynamic Geometry proving tools, GeoProof and GeoCoq as well as some applications demonstrating their functions. Furthermore, wewill make an effort to compare these tools and try to locate parts of them that could be improved in order to fit in the school environment. Finally, we will point out the importance of the students’ familiarization with reasoning and the need for research concerning constructive tools combined with the use of a proof assistant, in our country.