Παραμετρική ανάλυση και σύγκριση αλγορίθμων επίλυσης αντίστροφων προβλημάτων για την εκτίμηση μηχανικών αλλοιώσεων σε επίπεδο πρόβλημα

Abstract

Η παρούσα εργασία ασχολείται με τη μελέτη του αντίστροφου προβλήματος της εύρεσης ελαττωμάτων μέσα σε επίπεδη πλάκα. Τα ελαττώματα αυτά μπορεί να είναι είτε οπές είτε ρωγμές. Το αντίστροφο πρόβλημα μετατρέπεται σε πρόβλημα βελτιστοποίησης, θεωρώντας ως συνάρτηση κόστους μία ποσοτικοποίηση του σφάλματος του υπολογισμένου χρησιμοποιώντας υπολογιστική μηχανική σε σχέση με το πειραματικά μετρούμενο, και μελετάται συνολικά. Αρχικά, γίνεται μία ανάλυση ευαισθησίας για να υπάρξει μία ποιοτική κατανόηση του προβλήματος και της εξάρτησής του από τις μεταβλητές σχεδίασης. Στη συνέχεια, γίνεται παραμετρική ανάλυση για το πρόβλημα της μίας οπής, που σκοπό έχει τη σύγκριση διαφορετικών μεθοδολογιών βελτιστοποίησης (Γενετικός Αλγόριθμος, Προσομοιούμενη Ανόπτηση, Ακολουθιακός Τετραγωνικός Προγραμματισμός - Sequential Quadratic Programming -, Μέθοδος Hooke and Jeeves, Μέθοδος Προσέγγισης Υποπροβλήματος - Subproblem Approximation Method -, Μέθοδος Πρώτης Τάξης - First Order Method-) και μεθόδων ανάλυσης – επίλυσης της φόρτισης επί της κατασκευής (Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων και Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων). Η μελέτη γίνεται για διάφορες θέσεις και μεγέθη ελαττωμάτων από τα οποία εξάγονται αντίστοιχα συμπεράσματα. Ακολουθεί μία μελέτη του προβλήματος των δύο οπών, για το οποίο επίσης μελετούνται διάφορες θέσεις και μεγέθη ελαττωμάτων. Το πρόβλημα αυτό επιλύνεται χρησιμοποιώντας μόνο τη Μέθοδο Συνοριακών Στοιχείων (κάτι που δικαιολογείται από συμπεράσματα της προηγούμενης μελέτης) αλλά και πάλι με διάφορες μεθοδολογίες βελτιστοποίησης (Γενετικός Αλγόριθμος, Ακολουθιακός Τετραγωνικός Προγραμματισμός - Sequential Quadratic Programming - , Μέθοδος Hooke and Jeeves). Τέλος, θεωρείται το πρόβλημα της μίας ρωγμής, η οποία προσομοιώνεται με πεπλατυσμένη ελλειπτική οπή (οπή «συρρικνωμένη» κατά τη μία της διάσταση). Δοκιμάζονται δύο συντελεστές «συρρίκνωσης» για να μελετηθούν τα όρια των μεθόδων κατά τη μετάβαση από το σχετικά απλό πρόβλημα της οπής προς το ιδιόμορφο πρόβλημα της μαθηματικής ρωγμής. Τελικά γίνεται μία μελέτη, όπως και στο πρόβλημα των δύο οπών, δηλαδή με διάφορες μεθοδολογίες βελτιστοποίησης αλλά μόνο με τη Μέθοδο Συνοριακών Στοιχείων. Στο τελευταίο πρόβλημα, γίνεται μία προσπάθεια επίλυσης με χρήση μειωμένων δεδομένων για τον υπολογισμό της συνάρτησης κόστους έτσι ώστε να είναι πιο εύκολα πραγματοποιήσιμη η μέθοδος πειραματικά αλλά και να δειχθεί η ικανότητα όπως και τα όρια των προαναφερμένων μεθόδων βελτιστοποίησης στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Τα αποτελέσματα από όλες τις μελέτες συγκρίνονται και αξιολογούνται και στο τέλος εξάγονται συνολικά συμπεράσματα.

The present project is studying the inverse problem of identifying cracks and holes in a plate. The inverse problem is transformed into an optimization problem by considering a quantification of the error as a cost function. Initially, a sensitivity analysis is performed, in order to obtain a qualitative understanding of the behaviour of the problem and its dependence on the design variables. Next, a parametric analysis of the problem of one circular hole is performed, aiming to compare different methods of optimization (Genetic Algorithm, Simulated Annealing, Sequential Quadratic Programming, Hooke and Jeeves, Subproblem Approximation Method, First Order Method) and methods for solving and analysing the loading on the body (Finite Element Method and Boundary Element Method). The analysis is done for various positions and sizes of holes and corresponding conclusions are extracted. Following, a study of the problem of two holes, for which, again, different positions and sizes of the holes are considered. This problem is now solved using only the Boundary Element Method (as justified from results of the previous analysis) but again employing different optimization techniques (Genetic Algorithm, Sequential Quadratic Programming, Hooke and Jeeves). Finally, the problem of a crack is considered, which is simulated by a problem with a flatted (depressed) elliptic hole (hole ‘shrunk’ by one dimension). Different ‘shrinkage ratios’ are considered in order to study the limits of the methods as we go from the relatively simple problem of a circular hole to the singular problem of the mathematical crack. A study of this problem is done, as for the problem of two holes, using different optimization methods but only with the Boundary Element Method. For the final part of the project, an effort is done to solve the inverse problem of the crack using less data (less sampling points) for the calculation of the objective function, rendering the problem more experimentally realistic as well as revealing the ability and the limits of the above mentioned optimization methods on the specific problem. The results of all problems are compared and overall conclusions are presented.