Το αντίστροφο πρόβλημα της εύρεσης του σχήματος κοιλοτήτων και εγκλεισμάτων στη στατική και δυναμική γραμμική ελαστικότητα

Abstract

Στην παρούσα διατριβή εξετάζουμε το αντίστροφο πρόβλημα εύρεσης της θέσης και του σχήματος ενός εμποδίου στη στατική και δυναμική γραμμική ελαστικότητα. Το πρόβλημα θεωρείται στον R2 και το εμπόδιο επιλέγεται να είναι σκληρό (άκαμπτο), κοιλότητα ή έγκλεισμα τοποθετημένο σε ένα ισότροπο και ομογενές ελαστικό μέσο. Το αντίστροφο πρόβλημα επιλύεται, για όλες τις περιπτώσεις εμποδίων, με τη μέθοδο των μη γραμμικών ολοκληρωτικών εξισώσεων που προτάθηκε από τους Kress και Rundell για την εξίσωση του Laplace. Η μέθοδος βασίζεται στην ολοκληρωτική αναπαράσταση των πεδίων. Το πρόβλημα μετατρέπεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα ολοκληρωτικών εξισώσεων το οποίο είναι μη γραμμικό ως προς το παραμετρικοποιημένο σύνορο του εμποδίου και μη καλά τοποθετημένο. Η γραμμικοποίηση των εξισώσεων γίνεται με τη χρήση Fréchet παραγώγων των ολοκληρωτικών τελεστών. Για να αντιμετωπίσουμε τη μη καλή τοποθέτηση του συστήματος, το επιλύουμε προσεγγιστικά μέσω της μεθόδου ομαλοποίησης Tikhonov. Οι ασθενώς ιδιόμορφοι, ιδιόμορφοι και ισχυρά ιδιόμορφοι ολοκληρωτικοί τελεστές υπολογίζονται αριθμητικά με τη βοήθεια ειδικών μεθόδων συνδιάταξης και κανόνων τετραγωνισμού. Η αριθμητική λύση επιτυγχάνεται μέσω επαναληπτικής διαδικασίας και η σύγκλιση της μεθόδου εξαρτάται από την αρχική πρόβλεψη για τη θέση και το σχήμα του εμποδίου. Τα αριθμητικά αποτελέσματα καθώς και οι ανακατασκευές του συνόρου αποδεικνύουν την αποτελεσματικότητα της μεθόδου.

In this thesis, the inverse problem of determining the position and the shape of an obstacle in static and dynamic linear elasticity is considered. The problem is stated in R2 and the obstacle is a rigid body, a cavity or an inclusion in a homogeneous and isotropic elastic medium. The inverse problem is solved, for all types of obstacles, using the method of non linear integral equations proposed by Kress and Rundell for Laplace equation. This method is derived from the integral representation of the fields. The problem is equivalently transformed into a system of integral equations which is non linear with respect to the parametrized boundary and ill-posed. The linearization of the equations is performed using Fréchet derivatives of the integral operators. To overcome the ill-posedness of the system we approximately solve it via Tikhonov regularization. The weakly singular, singular and strongly singular integral operators are computed using special collocation and quadrature rules. The numerical solution is achieved via an iterative algorithm based on an initial guess for the boundary. Numerical examples and reconstructions are given to illustrate the applicability of the method.