Πιθανοθεωρητικές αποκρίσεις δυναμικών συστημάτων υπό διέγερση Γκαουσιανού χρωματισμένου θορύβου. Θεμελίωση μιας μη-Μαρκοβιανής θεωρίας

Abstract

Ο προσδιορισμός της πιθανοθεωρητικής δομής της απόκρισης δυναμικού συστήματος υπό τυχαία (στοχαστική) διέγερση είναι ένα σημαντικό ερώτημα για πολλά προβλήματα της Δυναμικής, της Στατιστικής Φυσικής, της Επιστήμης των Υλικών, καθώς και της ποσοτικοποίησης της αβεβαιότητας σε μακροσκοπικά συστήματα. Επιπροσθέτως, στις περισσότερες πραγματικές εφαρμογές, η τυχαία διέγερση δεν μπορεί να θεωρηθεί ως λευκός (δέλτα-συσχετισμένος) θόρυβος, βλ. για παράδειγμα διεγέρσεις από θαλάσσια κύματα, άνεμο, και σεισμούς.

Στόχος της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η παραγωγή εξελικτικών εξισώσεων για συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας (σππ) που περιγράφουν την μη-Μαρκοβιανή απόκριση βαθμωτών ή πολυδιάστατων δυναμικών συστημάτων σε διέγερση Γκαουσιανού χρωματισμένου (ομαλώς συσχετισμένου) θορύβου. Ειδικότερα, παράγονται κλειστές εξελικτικές εξισώσεις για την σππ της απόκρισης σε κάθε χρονική στιγμή, καθώς και σππ ανώτερης τάξης, όπως είναι η από κοινού σππ της απόκρισης σε δύο χρονικές στιγμές, και η από κοινού σππ απόκρισης και διέγερσης.

Οι ανωτέρω εξελικτικές εξισώσεις παράγονται από στοχαστικές εξισώσεις Liouville (ΣΕL), οι οποίες προκύπτουν με χρήση της αναπαράστασης των σππ ως μέσων τιμών τυχαίων συναρτήσεων δέλτα. Οι ΣΕL είναι ακριβείς, αλλά δεν είναι κλειστές, επειδή περιέχουν όρους μέσων τιμών που εκφράζονται συναρτήσει σππ ανωτέρων τάξεων. Σε αυτές τις μέσες τιμές εφαρμόζουμε κατάλληλες γενικεύσεις του θεωρήματος Novikov-Furutsu (NF), οι οποίες είναι και αυτές πρωτότυπες. Μετά την εφαρμογή του θεωρήματος NF, οι μέσες τιμές στις ΣΕL εκφράζονται ισοδύναμα ως μη-τοπικοί όροι που εξαρτώνται από την όλη ιστορία της απόκρισης (και της διέγερσης, σε κάποιες περιπτώσεις). Αυτό το αποτέλεσμα είναι σε συμφωνία με τον μη-Μαρκοβιανό χαρακτήρα της απόκρισης, και καθιστά και τις νέες μορφές των ΣΕL μη-κλειστές. Στην συνέχεια, οι εν λόγω μη-τοπικοί όροι προσεγγίζονται με ένα νέο σχήμα το οποίο χρησιμοποιεί την ιστορία κατάλληλων ροπών της απόκρισης (ή από κοινού ροπών της απόκρισης και της διέγερσης). Η εφαρμογή αυτού του σχήματος οδηγεί σε μια οικογένεια από νέες, κλειστές, εξελικτικές εξισώσεις για τις σππ της απόκρισης. Οι εξισώσεις αυτές είναι μη-γραμμικές, και διατηρούν ένα ποσοστό της αρχικής μη-τοπικότητας, αλλά ταυτόχρονα είναι κλειστές και επιλύσιμες. Τέλος, οι νέες εξελικτικές εξισώσεις, για την σππ της απόκρισης σε ένα χρόνο, επιλύονται αριθμητικά και τα αποτελέσματά τους συγκρίνονται με προσομοιώσεις Monte Carlo (MC), με παράδειγμα αναφοράς μια δισταθή (bistable) τυχαία διαφορική εξίσωση υπό διέγερση Ornstein-Uhlenbeck. Όπως προκύπτει από τα αριθμητικά αποτελέσματα, οι νέες εξελικτικές εξισώσεις είναι σε πολύ καλή συμφωνία με τις προσομοιώσεις MC, ακόμα και για περιπτώσεις διέγερσης από θόρυβο ισχυρής έντασης και μεγάλου χρόνου συσχέτισης, στις οποίες περιπτώσεις άλλες παρόμοιες εξισώσεις της υπάρχουσας βιβλιογραφίας αποτυγχάνουν. Σημειώνεται ότι το υπολογιστικό κόστος για την επίλυση των νέων εξελικτικών εξισώσεων είναι συγκρίσιμο με αυτό της επίλυσης της αντίστοιχης κλασσικής εξίσωσης Fokker-Planck-Kolmogorov, η οποία είναι γραμμική, και καλύπτει τις περιπτώσεις όπου η διέγερση είναι λευκός θόρυβος.