Φαινόμενα σύγκλισης, απόκλισης και ταλαντώσεων κατά την εφαρμογή της Μεθόδου Βοηθητικών Πηγών (MAS) σε απλό πρόβλημα κοιλότητας και σύγκριση με τη μέθοδο Εκτεταμένης Ολοκληρωτικής Εξίσωσης (EIE method)

Abstract

Στην παρούσα εργασία μελετάται ένα πρόβλημα σκέδασης από ιδανικό αγωγό, ο οποίος φωτοβολείται εσωτερικά. Ο αγωγός επιλέγεται να είναι ένας κυκλικός κύλινδρος απείρου μήκους (κατά) και η πηγή είναι ένα νηματοειδές ρεύμα παράλληλο στον άξονα Η προαναφερθείσα απλή γεωμετρία είναι τέτοια που να επιτρέπει την εύρεση ακριβούς λύσης. Η Μέθοδος Βοηθητικών Πηγών, γνωστή ως MAS (Method of Auxiliary Sources), είναι μια συχνά χρησιμοποιούμενη αριθμητική μέθοδος σε προβλήματα σκέδασης. Η MAS, στην περίπτωσή μας, χρησιμοποιεί βοηθητικές πηγές πάνω σε μια κλειστή επιφάνεια εξωτερική του σκεδαστή. Tα ρεύματα καθεμίας είναι κατ’ αρχήν άγνωστα. Αυτά προσδιορίζονται με επιβολή της συνοριακής συνθήκης σε σημεία πάνω στο σκεδαστή, καθώς τότε προκύπτει ένα ΝΧΝ σύστημα με αγνώστους τα MAS ρεύματα. Η ακριβής επίλυση του συστήματος είναι δυνατή λόγω της απλής γεωμετρίας του προβλήματος κι επομένως το MAS πεδίο για πεπερασμένο υπολογίζεται ακριβώς (γεγονός σπάνιο). Χάρη στη δυνατότητα αυτή και ύστερα από αναλυτική μελέτη, βρίσκουμε την ελάχιστη δυνατή απόσταση της βοηθητικής επιφάνειας. Αποδεικνύουμε επιπλέον ότι υπάρχει δυνατότητα, στο όριο που το Ν τείνει στο άπειρο, το MAS πεδίο να συγκλίνει στο πραγματικό, ενώ τα MAS ρεύματα να αποκλίνουν. Αν από την άλλη μεριά, χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Εκτεταμένης Ολοκληρωτικής Εξίσωσης ή ΕΙΕ (από το Extended Integral Equation) στο ίδιο πρόβλημα τέτοια φαινόμενα δε συμβαίνουν. Στη διπλωματική αυτή εργασία επιτυγχάνεται λοιπόν η εξαγωγή συμπερασμάτων ανάλογων με τις εργασίες [1], [2] και [3] για την περίπτωση που εξετάζουμε. Σημειώνουμε δε, ότι όλα τα θεωρητικά αποτελέσματα ενισχύονται από αριθμητική μελέτη, στην οποία δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στη διάκριση των φαινομένων απόκλισης και ταλαντώσεων, που θεωρητικά έχουν προβλεφθεί με τα φαινόμενα που εξαρτώνται από την αριθμητική υλοποίηση και προέρχονται από «round-off» ή «ill-conditioning». Έτσι, αν σε κάποιο «πραγματικό» πρόβλημα σκέδασης, με περίπλοκη γεωμετρία, εφαρμόσει κανείς μεθόδους του Υπολογιστικού Ηλεκτρομαγνητισμού, παρόμοιες με τη MAS και διαπιστώσει αποκλίσεις ή αφύσικες ταλαντώσεις, θα πρέπει να εξετάσει με μεγάλη προσοχή την «πηγή» από την οποία προέρχονται.

This work examines a scattering problem from a perfect conductor illuminated internally. The conductor is chosen to be an infinitely long (along the -axis) circular cylinder and the source a current filament parallel to the -axis. The aforementioned simple geometry is simple enough for the exact solution to be determined. The Method of Auxiliary Sources (MAS) is a commonly used numerical method for scattering problems. In our case, MAS employs auxiliary sources on a closed surface external to the scatterer. The source currents are initially unknown. They are determined by enforcing the boundary condition on points on the scatterer, resulting a ΝΧΝ system with the MAS currents as the unknowns. The exact solution of the system is possible because of the simple problem geometry (this is a rare occurrence). Because of this and after an analytical study, we determine the allowable minimum distance of the auxiliary surface. We further demonstrate the possibility, in the limit N to infinity, of the MAS field to converge to the true field, while the MAS currents diverge. If, on the other hand, we apply the Extended Integral Equation (EIE) method to the same problem, such phenomena do not occur. This diploma thesis thus draws conclusions analogous to the works [1], [2], and [3] for the case of interest. Let us note that all theoretical results are reinforced by a numerical study, in which we take great care to distinguish the divergence and oscillation phenomena predicted theoretically to those that depend on the numerical implementation and are due to “round-off” or “ill-conditioning”. Therefore, if in a “real” scattering problem, with a complicated geometry, one uses methods of Computational Electromagnetics similar to MAS and observes divergence or unphysical oscillations, one should take great care to examine their “source”.