Navigation functions for unknown sphere worlds, general geometries, their inverse problem and combination with formal methods

Abstract

Η εργασία αυτή περιλαμβάνει τέσσερεις κύριες συνεισφορές: 1. Επέκταση της μεθόδου των Συναρτήσεων Πλοήγησης (Navigation Functions) για την εξερεύνηση άγνωστων σφαιρικών κόσμων· 2. Επέκταση της μεθόδου των Συναρτήσεων Πλοήγησης σε κόσμους μερικώς ικανώς καμπύλους σε κάθε συνοριακό σημείο· 3. Διατύπωση και επίλυση του Αντίστροφου Προβλήματος εύρεσης μίας άγνωστης συνάρτησης εμποδίου, αντιστοιχούσας σε πειραματικώς καταγεγραμμένες τροχιές, προς χρήση εντός μίας Συνάρτησης Πλοήγησης· 4. Αποκεντρωμένος υβριδικός έλεγχος πολυ-πρακτορικών συστημάτων από προδια- γραφές διατυπωμένες σε Γραμμική Χρονική Λογική, υπό περιορισμένες δυνατότητες επικοινωνίας, με χρήση Συναρτήσεων Πλοήγησης. Η πρώτη συνεισφορά αποτελεί το αντικείμενο του Μέρος I και επεκτείνει τη μορφή των Συναρτήσεων Πλοήγησης κατά Koditschek-Rimon σε άγνωστους σφαιρικούς χώρους, για τους οποίους αναπτύσσεται η αυτόματη ρύθμιση της παραμέτρου του εκθέτη. Ο αλγόριθ- μος αυτός αντικαθιστά την πρώτερη ανθρώπινη ρύθμιση με αποδεδειγμένα ορθή αυτόματη ρύθμιση. Το εδώ χρησιμοποιούμενο ελάχιστο όριο της παραμέτρου είναι βελτιωμένο κατά τάξεις μεγέθους συγκρινόμενο με την αρχική απόδειξη. Εξετάζεται και η υπολογιστική πολυπλοκότητα ανανέωσης για νεο-ευρεθέντα εμπόδια. Κατασκευάζεται ένας αλγόριθμος ανανέωσης με γραμμική υπολογιστική πολυπλοκότητα ως προς το πλήθος των ήδη ανα- καλυφθέντων εμποδίων. Επιπροσθέτως, οι Συναρτησεις Πλοήγησης επεκτεινονται και σε μη φραγμένους χώρους. Η εργασία αυτή έχει δημοσιευθεί στο [125]. Η δεύτερη συνεισφορά, Μέρος II, αφορά στην επέκταση των Συναρτήσεων Πλοήγη- σης τύπου Koditschek-Rimon σε περίπλοκες γεωμετρίες και τοπολογίες δίχως την ανάγκη χρήσης Διαφορίσιμων Απεικονίσεων Χώρου (Diffeomorphisms). Συγκεκριμένα, διερευνά- ται ποιά είναι η πλέον γενική κατηγορία κόσμων στους οποίους είναι εφαρμόσιμος αυτός ο τύπος Συναρτήσεων Πλοήγησης. Τούτο οδηγεί σε μία γεωμετρική συνθήκη η οποία χα- ρακτηρίζει τους αποδεκτούς κόσμους. Συγκεκριμένα, πρόκειται για τους χώρους οι οποίοι είναι παντού μερικώς αρκούντως καμπύλοι, δηλαδή εκείνοι στους οποίους κάθε συνοριακό σημείο εμποδίου διαθέτει τουλάχιστον μία ικανή κύρια καμπυλότητα. Μία κύρια καμπυλό- τητα ονομάζεται ικανή εφόσον η σε αυτή αντιστοιχούσα εφαπτόμενη σφαίρα, με διάμετρο την ακτίνα της κύριας καμπυλότητας, περιλαμβάνεται εντός του εμποδίου. Κατόπιν, η θε- ωρία των Συναρτήσεων Πλοήγησης επαναδιατυπώνεται και αποδεικνύεται για αυτούς τους κόσμους. Η εργασία αυτή έχει υποβληθεί στο [124]. Στο Μέρος III θεωρείται το Αντίστροφο Πρόβλημα των Συναρτήσεων Πλοήγησης. Συνίσταται στην εύρεση μίας συνάρτησης εμποδίου από διαθέσιμες πραγματοποιήσιμες τροχιές καταγραφείσες σε πειράματα. Η συνάρτηση εμποδίου οφείλει να είναι τέτοια, ώστε η αντικατάστασή εντός μίας Συνάρτησης Πλοήγησης τύπου Koditschek-Rimon να επιλύει το Πρόβλημα Σχεδιασμού Κίνησης παρομοίως με τις πειραματικές τροχιές. Το πρόβλημα διατυπώνεται ως η επίλυση μίας Μερικής Διαφορικής Εξίσωσης με ελαχιστοποίηση διά από- τομης καθόδου ενός καταλλήλως επιλεγμένου συναρτησιακού κόστους. Η επιτυχής λύση εξαρτάται από την κατασκευή τούτου του συναρτησιακού, η οποία απαιτεί προσεκτική μελέτη. Η νέα μέθοδος αναδεικνύεται με εφαρμογή της χρησιμοποιώντας αποτελέσματα από πειράματα αρπαγής αντικειμένων από ανθρώπους. Εκπαιδεύοντας μία Συνάρτηση Πλοή- γησης στον πρωτεύοντα υπόχωρο του ιδιοσυστήματος στο χώρο στάσης (Configuration Space) του ανθρωπίνου χεριού, αναπαράγονται αυτομάτως κινήσεις αρπαγής με χέρι πολύ παρόμοιες με τις ανθρώπινες. Η εργασία αυτή έχει υποβληθεί στο [126]. Η εργασία στο Μέρος IV αφορά σε πολυ-πρακτορικά συστήματα. Σε κάθε πράκτορα δί- νονται τοπικώς προδιαγραφές διατυπωμένες σε Γραμμική Χρονική Λογική (Linear Temporal Logic - LTL), ανεξαρτήτως μεταξύ τους. Στη συνέχεια, κάθε πράκτορας κατασκευάζει έναν υβριδικό ελεγκτή αποτελούμενο από ένα διακριτό επιβλέπον αυτόματο προκύπτον από τις προδιαγραφές LTL και Συναρτήσεις Πλοήγησης ως συνεχείς ελεγκτές. Επιπροσθέτως, εφαρμόζεται έλεγχος διατήρησης συνδεσιμότητας μεταξύ πρακτόρων που την απαιτούν, όταν αυτό ζητείται από τις προδιαγραφές τους. Ακόλουθοι πράκορες αξιοποιούνται για τη διατήρηση αυτής της συνδεσιμότητας. Τυπική επαλήθευση των κατασκευασμένων ελεγ- κτών λαμβάνει χώρο με Έλγχο Μοντέλου (Model Checking) όταν οι πράκτορες αποκτούν συνδεσιμότητα και μπορούν να ανταλλάξουν τις γλώσσες και τα αυτόματά τους. Η εργασία αυτή έχει υποβληθεί στο [123].

This work has four main contributions: 1. Extending Navigation Functions for exploring unknown sphere worlds; 2. Extending Navigation Functions for everywhere partially sufficiently curved worlds; 3. Formulating and solving the inverse problem of finding an unknown obstacle function corresponding to experimental trajectories to use it in a Navigation Function; 4. Decentralized hybrid control of Multi-Agent systems from local Linear Temporal Logic specifications under limited communication using Navigation Functions. The first one is provided in Part I and extends Koditschek-Rimon Navigation Functions to unknown sphere worlds, for which automatic tuning of the exponent parameter is developed. This algorithm replaces previous manual tuning with provably correct automatic tuning. The lower bound used is here improved by orders of magnitude compared to the original proof. The computational complexity of updating for discovered obstacles is here examined. An updating algorithm with computational complexity linear in the number of already discovered obstacles is constructed. Moreover, Navigation Functions are extended for unbounded worlds. This work has been published in [125]. The second one, Part II, concerns the extension of Koditschek-Rimon Navigation functions to complicated geometries and topologies without the need for diffeomorphisms. The most general class of worlds to which this type of Navigation Functions is directly applicable is investigated. This leads to a geometric condition characterizing tractable worlds. In particular, those worlds which are everywhere partially sufficiently curved, that is, those worlds for which every obstacle boundary point has at least one sufficient principal curvature. A principal curvature is termed sufficient if its associated tangent sphere with diameter the radius of principal curvature is included within the obstacle. The Navigation Function theory is then reformulated and proved for these worlds. This work has been submitted as [124]. In Part III the Inverse Problem of Navigation Functions is considered. It consists of finding an obstacle function from available feasible trajectories measured in experiments. This obstacle function should be such, that using it in a Koditschek-Rimon Navigation Function will solve the Motion Planning problem similarly to the experimental trajectories. The problem is formulated as the solution of a Partial Differential Equation by gradient minimization of an appropriately selected cost functional. The successful solution depends on the construction of this functional, which requires careful consideration. The application of this new method is demonstrated using results from human grasping experiments. By training the Navigation Function in the primary principal component subspace of the hand configuration space, grasping hand movements very similar to those produced by humans are achieved. This work has been submitted as [126]. The work in Part IV considers Multi-Agent systems. Local Linear Temporal Logic (LTL) specifications are independently provided to each agent. Then each constructs a hybrid controller comprised of a discrete supervising automaton resulting from the LTL and continuous Navigation Function controllers. Moreover, connectivity maintenance control is implemented between agents requesting it, when triggered by their specifications. Follower agents are utilized to maintain this connectivity. Formal verification of the constructed controllers takes place by Model Checking when agents acquire path-connectedness and can interchange their languages and automata. This work has been submitted as [123].