Η Ασυνεχής Μέθοδος Galerkin για Συστήματα Μη-Γραμμικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων Παραβολικού Τύπου και Εφαρμογές: Ευστάθεια και Εκτιμήσεις Σφαλμάτων

Abstract

Το αντικείμενο της παρούσας διδακτορικής διατριβής αφορά τα προβλήματα Αριθμητικής Ανάλυσης για συστήματα μη γραμμικών παραβολικών εξισώσεων τύπου predator-prey με εφαρμογές στη Βιολογία. Συγκεκριμένα μελετούμε:1)ασυνεχή χρονικά μέθοδο για την χρονική διακριτοποίηση Galerkin σε συνδυασμό με 2)κλασικά πεπερασμένα στοιχεία για την χωρική διακριτοποίηση. Εξετάζουμε τις ιδιότητες ευστάθειας των ανωτέρω διακριτών σχημάτων για ομαλά και μη ομαλά δεδομένα καθώς και την εξάρτηση των εκτιμήσεων αυτών σε σχέση με τις φυσικές παραμέτρους του συστήματος, και ιδιαίτερα σε σχέση με τις παραμέτρους διάχυσης. Επίσης μελετώνται εκτιμήσεις σφαλμάτων για τη διαφορά μεταξύ της διακριτής και της συνεχούς λύσης του συστήματος. Οι εκτιμήσεις αυτές επιβεβαιώνονται από τα εκτεταμένα αριθμητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας. Το πρόβλημα θηρευτή-θηράματος περιγράφεται ως εξής: Για δοσμένες αρχικές συνθήκες u0,v0 που περιγράφουν την αρχική κατάσταση δύο διαφορετικών πληθυσμών θηρευτή-θηράματος, αναζητούμε λύσεις (u,v) δηλαδή την εξέλιξη των πληθυσμών που ικανοποιεί ένα συζευγμένο σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Πιο συγκεκριμένα, ο στόχος της εργασίας είναι η παρουσίαση αποτελεσμάτων και για τις τρεις κύριες μορφές μοντέλων θηρευτή-θηράματος: 1. Συναρτησοειδές του Ivlev 2. Συναρτησοειδές Holling Type II 3. Συναρτησοειδές Holling Type III: όπου u αντιπροσωπεύει την πυκνότητα των θηραμάτων, v το πλήθος των κυνηγών. Τα κύρια αποτελέσματα της διατριβής: Επισημαίνεται πως η τεχνική που παρουσιάζεται εφαρμόζεται σε πλήρως διακριτοποιημένα σχήματα ανώτερης τάξης, δηλαδή δεν εξετάζεται αποκλειστικά η περίπτωση σχημάτων της μορφής Forward/Backward Euler για την χρονική διακριτοποίηση. Παρόλο που η χρήση πλήρως διακριτοποιημένων σχημάτων ανώτερης τάξης, αυξάνει σημαντικά την τεχνική δυσκολία της ανάλυσης, υπολογιστικά αναμένεται πως μετά από την πάροδο ενός μικρού χρονικού διαστήματος, ο παραβολικός χαρακτήρας του προβλήματος δρα εξομομαλυντικά, επιτρέποντας την χρήση πλήρως διακριτών σχημάτων. Παρ΄ όλα αυτά, οι εκτιμήσεις ευστάθειας που παρουσιάζονται ισχύουν με χαμηλές υποθέσεις ομαλότητας για τα δεδομένα του προβλήματος. Η απόδειξη στηρίζεται σε τεχνικές που έχουν αναπτυχθεί για ασυνεχείς Galerkin σε συνδυασμό με ένα κατάλληλο boot-strap επιχείρημα ώστε να εξασφαλιστεί η αποσύζευξη των δύο εξισώσεων. Στη συνέχεια κατασκευάζοντας κατάλληλες βοηθητικές χωρο-χρονικές προβολές αποδεικνύουμε κατάλληλες εκτιμήσεις σφάλματος της μορφής:||σφάλμα προσέγγισης κατά σημείο ||L2(Ω) + ||σφάλμα||L2(0,T;H1(Ω)) + ||σφάλμα jumps||L2(Ω) ≤ C( ||Σφάλματα βέλτιστης προσέγγισης ||L2(0,T;H1(Ω)) + ||σφάλματα αρχικών τιμών|| . Η ομαλότητα των λύσεων (u,v) είναι η ακόλουθη:(u,v) ∈ L2(0,T;H1(Ω)) ∩ H1(0,T;H1(Ω)∗) ∩ L∞(0,T;L∞(Ω)).Οι εκτιμήσεις της παραπάνω ανισότητας είναι οι βέλτιστες ως προς την ενεργειακή νόρμα.